■リー群と表現(その146)

 すべての正ルートは単純ルートの非負係数の線形結合

  φ=c1ρ1+・・・+cmρm

で表される.

 c=Σciが最大となるものが,最大ルートρ0である.

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[1]An

  ρ1=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρ2=e3−e2=(0,−1,1,・・・,0)

  ρn=en+1−en=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=en+1−e1=(−1,0,・・・,0,1)

  ρ0=ρ1+ρ2+・・・+ρn

[2]Bn

  ρ1=e1=(1,0,・・・,0)

  ρ2=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρn-1=en-1−en-2=(0,・・・,−1,1,0)

  ρn=en−en-1=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=en-1+en=(0,・・・,0,1,1)

  ρ1+ρ2+・・・+ρn=en

  ρ1+ρ2+・・・+ρn-1=en-1

  ρ0=en-1+en=2ρ1+・・・+2ρn-1+ρn

[3]Cn

  ρ1=2e1=(2,0,・・・,0)

  ρ2=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρn=en−en-1=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=2en=(0,・・・,0,2)

  ρ1+ρ2+・・・+ρn=en+e1=en+ρ1/2

  ρ0=2en=ρ1+2ρ2+・・・+2ρn

[4]Dn

  ρ1=e1+e2=(1,1,0,・・・,0)

  ρ2=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρn=en−en-1=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=en-1+en=(0,・・・,0,1,1)

  ρ1+ρ2+・・・+ρn=en+e2

  ρ1+ρ2+・・・+ρn-1=en-1+e2

  ρ1+ρ2=2e2

  ρ0=en-1+en=ρ1+ρ2+2ρ3+・・・+2ρn-1+ρn

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