■リー群と表現(その132)

 

  |A2 |=3,|A3 |=4,|D4 |=4,|D5 |=4,

  |E6 |=3,|E7 |=2,|E8 |=1

  |An |=1+n

が得られた.

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【1】BCn型ルート格子

  |BC2 |=|2 √2|=2

        |√2 2|

        |2 1 0|

  |BC3 |=|1 2 √2|=2

        |0 √2 2|

は容易に計算できる.

  ・−・・・・・=・

をBCn のディンキン図形とすると,BCn+1は左から・−を作用させた

  ・−・−・・・・・=・

すなわち,

  ・−(BCn )

であるから,その隣接行列式は

         |2 1 ・・ 0|  |2 1 ・・ 0|

  |BCn+1 |=|1 2 ・・ 0|= |1       |

         |0 1 ・・ √2| |0  BCn   |

         |0 0 ・・ 2|  |0       |

で表される.

 右辺を第1行について展開すると

                 |1 1 0 ・・ |

  |BCn+1 |=2|BCn | −|0  BCn-1   |

                 |0        |

次に,第1列について展開して

  |BCn+1 |=2|BCn | −|BCn-1 |

 このことから,

  |BCn+1 |−|BCn |=|BCn | −|BCn-1 |

 =・・・=|BC3 | −|BC2 |=0

であり,したがって,数列{|BCn+1 |−|BCn |}は公差0の等差数列であることがわかり,

  |BCn |=2

が得られる.

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