■リー群と表現(その130)

【1】ディンキン図形

 (その320)では,平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えましたが,ルート系はn次元ユークリッド空間のベクトルの集合なので,それを平面上に図示するためには特別な工夫が必要となります.

 1次独立な2つのルートα,βのなす角をθとすると,

  (α,β)=|α||β|cosθ

ただし,(α,β)>0,|α|≦|β|,0<θ≦π/2としても一般性を失いません.

 また,

  2(α,β)/(α,α)=〈α,β〉

と略記すると,

  〈β,α〉=2|β|/|α|cosθ

が成立しますから,

  〈α,β〉〈β,α〉=4cos^2θ

が得られます.

 ここで,ルート系の定義から,〈α,β〉は整数ですから,

  4cos^2θ=0,1,2,3

したがって,

  θ=π/2,π/3,π/4,π/6

に限られます.

 そのとき,n次元単体の基底となるn個のベクトルの集合を

  Φ={α1,α2,・・・,αn}

として,

  〈αi,αj〉=2(αi,αj)/(αj,αj)=Cij

で与えられる整数をカルタン数,n次正方行列C={Cij}をカルタン行列といいます.これはαjを長さ√2のベクトルとするとき,カルタン行列は内積(αi,αj)からなるグラミアンとして定義されることを意味しています.

  θ  |β|/|α| 〈α,β〉 〈β,α〉 〈α,β〉〈β,α〉

 π/2    −      0     0       0

 π/3    1      1     1       1

 π/4    2      1     2       2

 π/6    3      1     3       3

 カルタン行列ではこの4つの場合の値のみが許されます.カタラン数はそれほど多くの値をとるわけではないので,その状況を端的に表すグラフ(ディンキン図形)を考えることができます.そして,〈α,β〉〈β,α〉,すなわち,

  θ=π/2・・・・結ばない

  θ=π/3・・・・辺−で結ぶ(・−・)

  θ=π/4・・・・辺=で結ぶ(・=・)

  θ=π/6・・・・辺≡で結ぶ(・≡・)

と定めます.

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