■リー群と表現(その122)

 万華鏡,p184−5において,G(有限群)の二重丸に,拡張ルートをつけたものがG+(無限群)である.したがって,

  A3~に対応するのは,eα3(立方八面体)

  B3~対応するのは,t1β3(立方八面体)

 鏡映の数学,p158を参考にしてみると,・・・

===================================

[1]An

  ρ1=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρ2=e3−e2=(0,−1,1,・・・,0)

  ρn=en+1−en=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=en+1−e1=(−1,0,・・・,0,1)

  ρ0=ρ1+ρ2+・・・+ρn

  −ρ0・ρ1/|−ρ0|・|ρ1|=−1/2

  −ρ0・ρn/|−ρ0|・|ρn|=−1/2

[2]Bn

  ρ1=e1=(1,0,・・・,0)

  ρ2=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρn-1=en−en-1=(0,・・・,−1,1,0)

  ρn=en−en-1=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=en-1+en=(0,・・・,0,1,1)

  −ρ0・ρn-1/|−ρ0|・|ρn-1|=−1/2

[3]Cn

  ρ1=2e1=(2,0,・・・,0)

  ρ2=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρn=en−en-1=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=2en=(0,・・・,0,2)

  −ρ0・ρn/|−ρ0|・|ρn|=−1/√2

[4]Dn

  ρ1=e1+e2=(1,1,0,・・・,0)

  ρ2=e2−e1=(−1,1,0,・・・,0)

  ρn=en−en-1=(0,・・・,0,−1,1)

  ρ0=en-1+en=(0,・・・,0,1,1)

  −ρ0・ρn-1/|−ρ0|・|ρn|=−1/2

===================================