■リー群と表現(その104)

【1】E8

  α1=1/2(1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,1)

  α2=e1+e2=(1,1,0,0,0,0,0,0)

  α3=e2−e1=(−1,1,0,0,0,0,0,0)

  α4=e3−e2=(0,−1,1,0,0,0,0,0)

  α5=e4−e3=(0,0,−1,1,0,0,0,0)

  α6=e5−e4=(0,0,0,−1,1,0,0,0)

  α7=e6−e5=(0,0,0,0,−1,1,0,0)

  α8=e7−e6=(0,0,0,0,0,−1,1,0)

さらに,

  α0=e7+e8=(0,0,0,0,0,0,1,1)

として,拡張コクセターグラフを考えてみます.

  α1・α2=0→θ=π/2

  α1・α3=−1/2→θ=π/3

  α2・α4=−1/2→θ=π/3

  −α8・α0=−1/2→θ=π/3

===================================

【2】E7

  α1=1/2(1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,1)

  α2=e1+e2=(1,1,0,0,0,0,0,0)

  α3=e2−e1=(−1,1,0,0,0,0,0,0)

  α4=e3−e2=(0,−1,1,0,0,0,0,0)

  α5=e4−e3=(0,0,−1,1,0,0,0,0)

  α6=e5−e4=(0,0,0,−1,1,0,0,0)

  α7=e6−e5=(0,0,0,0,−1,1,0,0)

さらに,

  α0=e8−e7=(0,0,0,0,0,0,−1,1)

として,拡張コクセターグラフを考えてみます.

  −α1・α0=−1/2→θ=π/3

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【3】E6

  α1=1/2(1,−1,−1,−1,−1,−1,−1,1)

  α2=e1+e2=(1,1,0,0,0,0,0,0)

  α3=e2−e1=(−1,1,0,0,0,0,0,0)

  α4=e3−e2=(0,−1,1,0,0,0,0,0)

  α5=e4−e3=(0,0,−1,1,0,0,0,0)

  α6=e5−e4=(0,0,0,−1,1,0,0,0)

さらに,

  α0=1/2(1,1,1,1,1−1,−1,1)

として,拡張コクセターグラフを考えてみます.

  −α2・α0=−1/2→θ=π/3

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