［補］直交変換（ユニタリ変換）

　２次元の対称行列

　　Ｈ＝［ｈ11，ｈ12］

　　　　［ｈ12，ｈ22］

を対角行列

　　Λ＝［λ1，０］

　　　　［０，λ2］

の形に変換してみましょう．これが直交変換と呼ばれる方法であって，楕円を標準形

　　ｘ^2／ａ＾２＋ｙ^2／ｂ^2＝１

に直す場合などにしばしば用いられます．

　その際，

　　Ｒ^(-1)ＨＲ＝Ｒ’ＨＲ

が対角行列になるように回転行列のθを決定するのですが，非対角要素

　　（ｈ22−ｈ11）ｃｏｓθｓｉｎθ＋ｈ12（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）＝０

より，

　　ｔａｎ２θ＝２ｈ12／（ｈ11−ｈ22）

したがって，

　　θ＝１／２ａｒｃｔａｎ（２ｈ12／（ｈ11−ｈ22））

にとればよいことがわかります．

　次に，３次元空間の場合についても，任意の対称行列Ｈに対して，Ｒを直交行列とし，

　　Ｒ’ＨＲ＝ｄｉａｇ（λ1，λ2，λ3）

すなわち，対角行列となるような直交行列Ｒを見つけて標準形に変換することを考えます．ところが，実際にやってみると複雑すぎて，非対角要素を０とする３つのパラメータθ，φ，ψを決定することはできそうにありませんでした．→コラム「ロボットアームと６次元楕円体」

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