【４】ＳＵ（２）・ＳＯ（３）・スピノル

　Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１を満たす３×３正方行列Ａは特殊直交群ＳＯ（３）をなします．また，ＳＯ（３）のリー代数は３次元の反対称行列で，

　　Ｌ1 ＝［０，０，０］　Ｌ2 ＝［０，０，１］　Ｌ3 ＝［０，−１，０］

　　　　　［０，０，−１］　　　［０，０，０］　　　　［１，０，０］

　　　　　［０，１，０］　　　　［−１，０，０］　　　［０，０，０］

はその基底の１つです．そして，

　　［Ｌ1，Ｌ2］＝Ｌ3

　　［Ｌ2，Ｌ3］＝Ｌ1

　　［Ｌ3，Ｌ1］＝Ｌ2

なる交換関係が示されます．

　一方，ＳＵ（２）においては，

　　Ｊ1＝1/2［０，ｉ］　Ｊ2＝1/2［０，−１］　Ｊ3＝1/2［ｉ，　０］

　　　　　　［ｉ，０］　　　　　［１，　０］　　　　　［０，−ｉ］

とすると，基底Ｊ1，Ｊ2，Ｊ3は

　　［Ｊ1，Ｊ2］＝Ｊ3

　　［Ｊ2，Ｊ3］＝Ｊ1

　　［Ｊ3，Ｊ1］＝Ｊ2

という交換関係を満たします．

　この一致はＳＵ（２）とＳＯ（３）の緊密な関係を示唆しているのですが，ＳＵ（２）の基底としてＪ1，Ｊ2，Ｊ3を採用すると，

　　Ｒ（ψ，θ，φ）＝ｅｘｐ｛ψＪ1＋θＪ2＋φＪ3｝

と書けることになります．

　ここで，ｘ軸に関する回転行列を取り出してみましょう．すると

　　Ｑx ＝ｅｘｐ（θＪ1）

　　　　＝［ｃｏｓ１／２θ，ｉｓｉｎ１／２θ］

　　　　　［ｉｓｉｎ１／２θ，ｃｏｓ１／２θ］

が得られますが，これはＳＵ（２）のユニタリ行列となっています．

　この行列はＳＯ（３）では

　　［１，０，０］

　　［０ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　［０，ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］

に対応するものですが，無限小生成子をつくると

　　Ｌx ＝１／ｉ［ｄＱx／ｄθ］(θ=0)

　　　　＝１／２［０，１］＝１／２σx＝Ｊ1

　　　　　　　　［１，０］

となって元に戻ることがわかります．

　同様に

　　Ｑy ＝ｅｘｐ（θＪ2）

　　　　＝［ｃｏｓ１／２θ，−ｓｉｎ１／２θ］

　　　　　［ｓｉｎ１／２θ，ｃｏｓ１／２θ］

　　Ｑz ＝ｅｘｐ（θＪ3）

　　　　＝［ｅｘｐ（−ｉ／２θ），０］

　　　　　［０，ｅｘｐ（−ｉ／２θ）］

に対して，無限小生成子をつくると

　　Ｌy＝１／２σy＝Ｊ2

　　Ｌz＝１／２σz＝Ｊ3

これより，一般の回転を表す式は

　　Ｒ（α）＝ｅｘｐ（１／２ｉα・σ）

のように書けることになります．

　このようにして写像：ＳＵ（２）→ＳＯ（３）が得られるのですが，複素数は２変数ですから，複素数上２次元のＳＵ（２）は実数上４次元であって，３次元球面（４次元超球の表面）：Ｓ^3と同じトポロジーをもち（同相），ＳＯ（４）の部分群と考えることができます．

　そのため，写像：ＳＵ（２）→ＳＯ（３）

　［ｃｏｓ１／２θ，ｉｓｉｎ１／２θ］　［１，０，０］

　［ｉｓｉｎ１／２θ，ｃｏｓ１／２θ］→［０ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［０，ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］

において，ＳＯ（３）はＳＵ（２）によって２重に被覆されることになります．スピノル群は特殊直交群の２重被覆群になっているというわけです．

　この対応関係を用いて，粒子のスピンをＲ^3のベクトルに対応させることができます（回転群の２価表現）．こうしてスピン１／２をもつ素粒子はＳＵ（２）の既約ベクトル空間の元によって表されるのですが，それがスピノル表現（パウリ行列の一般化）をもつということであって，ベクトルが３６０°回転してやると元に戻るのに対して，スピノルは３６０°回転させると反対向きになり，７２０°回転させてやるとはじめて元に戻る量となるのです．

　スピノルが１回転すると符号をかえるのはＳＯ（３）に埋め込まれたＳＵ（２）が２重被覆を与えるから・・・のごとき説明は実にややこしいのですが，現実にＳＵ（２）の表現に属する素粒子が存在するわけで，自然界においてはＳＵ（２）がＳＯ（３）よりももっと基本的な群と位置づけられています．

　なお，ベクトルの外積はＳＯ（３）とＳＵ（２）の両方に群に対応するリー代数です．回転とベクトルの対応は，ＳＯ（３）の場合，次元が３でそれが作用するベクトル空間が３次元であるという偶然のおかげで都合よく同一視することができました．しかし，たとえばＳＯ（４）では次元が６でそれが作用するベクトル空間Ｒ^4が４次元なので，そのような同一視はできません．

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