【３】ＳＯ（３）の回転行列

　ｎ次直交群Ｏ（ｎ）のなかで行列式が１のものがｎ次特殊直交群ＳＯ（ｎ）です．ＳＯ（２）は

　　［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］

　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

すなわち，平面の原点を中心とする回転のなす群です．２次元の直交変換はそのまま平面の回転なので，平面の回転では回転行列Ｒ

　　R=[cosθ,-sinθ]

　　　[sinθ, cosθ]

をかけてやればよいのですが，３次元の直交変換は一般に空間の回転になりません．

　空間を回転させる行列で直交変換となっているもの，すなわち，パラメータ数が３つの「回転」かつ「直交」行列として

　　(1)オイラー角に基づくもの

　　(2)ロール・ピッチ・ヨーに基づくもの

があります．

　(1)はｚ軸まわりの回転α→新しいｙ軸まわりの回転β→新しいｚ軸まわりの回転γ，(2)はｚ軸まわりの回転φ→新しいｙ軸まわりの回転θ→新しいｘ軸まわりの回転ψの３段階によって表すもので，３番目の回転軸が異なるだけで両者に本質的な違いはありません．ここでは(2)を示しますが，

　　Ｒψ＝［１，０，０］

　　　　　［０，ｃｏｓψ，−ｓｉｎψ］

　　　　　［０，ｓｉｎψ，ｃｏｓψ］

　　Ｒθ＝［ｃｏｓθ，０，−ｓｉｎθ］

　　　　　［０，１，０］

　　　　　［ｓｉｎθ，０，ｃｏｓθ］

　　Ｒφ＝［ｃｏｓφ，−ｓｉｎφ，０］

　　　　　［ｓｉｎφ，ｃｏｓφ，０］

　　　　　［０，０，１］

の合成マトリックス：Ｒ＝ＲφＲθＲψは

　　R(1,1)=cosφcosθ

　　R(2,1)=sinφcosθ

　　R(3,1)=-sinθ

　　R(1,2)=cosφsinθsinψ-sinφcosψ

　　R(2,2)=sinφsinθsinψ+cosφcosψ

　　R(3,2)=cosθsinψ

　　R(1,3)=cosφsinθcosψ+sinφsinψ

　　R(2,3)=sinφsinθcosψ-cosφsinψ

　　R(3,3)=cosθcosψ

のようになります．

　　R=[cosθ,-sinθ]

　　　[sinθ, cosθ]

を一般化したものですが，非常に面倒な表現になってしまいました．

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　２次元の回転群は

　　ｘ’＝ｘｃｏｓθ−ｙｓｉｎθ

　　ｙ’＝ｘｓｉｎθ＋ｙｃｏｓθ

と表されるのですが，ところで，２次元回転群のもう一つの表現として，

　　Ｒ＝ｅｘｐ（ｉθ）

として

　　Ｚ’＝ＲＺ

の形に書くことができます．

　３次元の回転についてもこのように簡単な表現はないものでしょうか？　そこで，これからしばらくの間，無限小生成子と呼ばれる方法を紹介したいと思います．

　　R=[cosθ,-sinθ]

　　　[sinθ, cosθ]

行列のθに関する微分をとり，θ＝０とおきます．

　　Ｌz＝１／ｉ［ｄＲ／ｄθ］(θ=0)

を求めると，

　　Ｌz ＝［０，ｉ］＝−σy

　　　 　 ［−ｉ，０］

が得られます．物理学者はこの行列をしばしば無限小生成子と呼びます．無限小回転を表す行列という意味なのですが，数学的には直交群の単位行列Ｅにおける接ベクトルとして与えられるものです．

　３次元の回転群についても同様の方法を適用し，微分により無限小生成子を求めると（ψ，θ，φ）角に対応した３つの無限小生成子

　　Ｌψ＝［０，ｉ，０］　Ｌθ＝［０，０，ｉ］　Ｌφ＝［０，０，０］

　　　　　［−ｉ，０，０］　　　［０，０，０］　　　　［０，０，ｉ］

　　　　　［０，０，０］　　　　［−ｉ，０，０］　　　［０，−ｉ，０］

が得られます．

　これにより

　　Ｒ（ψ，θ，φ）＝ｅｘｐ｛ｉ（ψＬψ＋θＬθ＋φＬφ）｝

　　　［Ｌψ，Ｌθ］＝ｉＬφ

　　　［Ｌθ，Ｌφ］＝ｉＬψ

　　　［Ｌφ，Ｌψ］＝ｉＬθ

のように書けることになります．

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