【２】ＳＵ（３）とゲルマン行列

　ＳＵ（３）は行列式が１の３×３ユニタリー行列のなす群です．λiをその基底とすると，それらはエルミート行列にとることができて，トレースが０の３×３エルミート行列になります．トレースが０の制限は行列式が１という条件からくるものです．

　標準的な基底はゲルマンのλ行列で与えられます．

　　λ1 ＝［０，１，０］　λ2 ＝［０，−ｉ，０］　λ3 ＝［１，０，０］

　　　　　［１，０，０］　　　　［ｉ，０，０］　　　　　［０，−１，０］

　　　　　［０，０，０］　　　　［０，０，０］　　　　　［０，０，０］

　　λ4 ＝［０，０，１］　λ5 ＝［０，０，−ｉ］　λ6 ＝［０，０，０］

　　　　　［０，０，０］　　　　［０，０，０］　　　　　［０，０，１］

　　　　　［１，０，０］　　　　［ｉ，０，０］　　　　　［０，１，０］

　　λ7 ＝［０，０，０］　　λ8 ＝１／√３［１，０，０］

　　　　　［０，０，−ｉ］　　　　　　　　［０，１，０］

　　　　　［０，ｉ，０］　　　　　　　　　［０，０，−２］

　これらのうちでλ1，λ2，λ4，λ5，λ6，λ7は非対角行列であり，σx，σy，σzに新たな行と列をつけ加えたものになっています．とくにλ1，λ2，λ3の３つはＳＵ（３）の中でアイソスピン部分群と呼ばれるＳＵ（２）部分代数を生成します．

　一方，λ3，λ8は対角行列であり，互いに交換します．

　　［λ3，λ8］＝０

λ3と可換な基底がλ3以外に１つだけあり，それがλ8なのです．

　ＳＵ（２）の場合と同様に，基底として

　　Ｔｒ（ＴiＴj）＝１／２δij

を満たすものを選ぶと，基底は

　　Ｔj=λj／２

となります．また，パウリのスピン行列はアイソスピン行列γiと単位行列Ｅ2から構成されるものでしたが，ゲルマン行列の場合，Ｅ2に相当するものは

　　λ0 ＝√２／３［１，０，０］

　　　　　　　　　［０，１，０］

　　　　　　　　　［０，０，１］

で与えられます．

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　ＳＵ（３）の場合，ＳＵ（２）のパウリ行列

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

に対応するのがゲルマン行列であって，パウリのスピン行列に類似した８個の基底をもつのですが，一般にＳＵ（ｎ）のリー代数はトレース０の反エルミート行列からなり，それには線形独立なものがｎ^2−１個あります．

　ＳＵ（２）では３個の基底（1/2σi），ＳＵ（３）では８個の基底（1/2λi）， ＳＵ（６）では３５個の基底からなるのですが，その内訳は

　　８（1/2λ）＋３（1/2σ）＋８×３（1/2λσ）＝３５

となります．ＳＵ（ｍｎ）の基底は

　　ｍ^2−１＋ｎ^2−１＋（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＝（ｍｎ）^2−１

というわけです．

　ＳＵ（３）に対する議論はＳＵ（２）の場合よりも少し複雑になるだけのことであって，３×３のユニタリー行列は８個の独立な基底の線形結合によって生成されます．また，ＳＵ（３）対称性については，２個の正規直交基底を決めてルートを図示すると，それは六角形のパターンに８種類の粒子を配置した有名な「八道説」のダイアグラムによって表現されることになるのです．

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