強い相互作用がＳＵ（３）リー代数と関係づけられ，ユニタリー群の表現論が素粒子の対称性に用いられるようになった１９５９年以来，物理学者たちはより高い対称性の群を追求し始め，現在ではクォークの基本的運動状態をゲージ理論と呼ばれる理論で記述できるまでになりました．

　そして，粒子の対称性を表すＳＵ（ｎ）のようなリー群と統合させて，ヤン・ミルズ場の理論が提唱されたのですが，電磁場はとくに一番簡単なＳＵ（１）すなわち絶対値１の複素数ｅｘｐ（ｉθ）全体からなる乗法群の場合に相当します．また，ＳＵ（５）はＳＵ（３）とＵ（１）×ＳＵ（３）を含む最小の単純群であることから，すべての素粒子の相互作用はＳＵ（５）にぴったりあてはまることもわかってきました．

　こうして，強い相互作用，弱い相互作用，電磁相互作用がひとつのリー代数に関係づけられ，大統一理論（ＧＵＴ）としてまとめあげられています．現在の課題はなぜこのような性質のクォークがあるのか，その答えを求めるとともに，重力まで含めた統一的な世界像を模索している段階にあるのです．

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【１】ＳＵ（２）とパウリ行列

　２次元特殊ユニタリー群ＳＵ（２）は，複素ユニタリー２×２行列で行列式１なるもの全体です．

　　ＳＵ（２）＝｛ＧＬ（２，Ｃ）｜Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１｝

そのリー環は複素２次正方行列で

　　ｓｕ（２）＝｛ＧＬ（２，Ｃ）｜Ｘ’~＝−Ｘ，Ｔｒ（Ｘ）＝０｝

となる行列です．

　リー群の部分空間がリー環であって，

　　Ｘ＋Ｘ~＝０，Ｔｒ（Ｘ）＝０

の一般型を求めれば

　　Ｘ＝［ｉｘ3，−ｘ2＋ｉｘ1］

　　　　［ｘ2＋ｉｘ1，−ｉｘ3］

となります．

　したがって，パウリ行列

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

はＳＵ（２）の基底となり，ＳＵ（２）の任意の元は基底の線形結合

　　σ＝Ｘσx ＋Ｙσy ＋Ｚσz ＝［　Ｚ，Ｘ−ｉＹ］

　　　　　　　　　　　　　　　　［Ｘ＋ｉＹ，−Ｚ］

で表されます．

　パウリ行列では

　　Ｔｒ（σiσj）＝２δij

δはクロネッカーのデルタで

　　δij＝１（ｉ＝ｊ）

　　　　＝０（ｉ≠ｊ）

となっています．そこで，基底の規格化条件として

　　Ｔｒ（ＴiＴj）＝１／２δij

を課すと，基底は

　　Ｔi＝σi／２

で与えられます．

　　Ｔ1＝1/2［０，１］　Ｔ2＝1/2［０，−ｉ］　Ｔ3＝1/2［１，　０］

　　　　　　［１，０］　　　　　［ｉ，　０］　　　　　［０，−１］

　こうしてもっとも簡単な非可換リー代数ｓｕ（２）は，一般に３つの基底Ｔiからなる反対称交換関係

　　［Ｔ1，Ｔ2］＝ｉＴ3

　　［Ｔ2，Ｔ3］＝ｉＴ1

　　［Ｔ3，Ｔ1］＝ｉＴ2

で与えられることになります．

　回転群の基底はこの反対称交換関係を満たしているのですが，１９２５〜２６年には，電子は単なる質点ではなく自転によるスピン角運動量±１／２をもつことがわかっていて，この関係は角運動量代数としてよく知られています．

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　この群がｓｕ（２）と呼ばれるものですが，基底は一意ではなく，たとえば，ＳＯ（３）の回転群に一致させるためにパウリ行列に±ｉ／２を乗じた行列も基底となります．

　　Ｊ1＝1/2［０，ｉ］　Ｊ2＝1/2［０，−１］　Ｊ3＝1/2［ｉ，　０］

　　　　　　［ｉ，０］　　　　　［１，　０］　　　　　［０，−ｉ］

　この場合もＪ1，Ｊ2，Ｊ3はｓｕ（２）の基底をなし，ｓｕ（２）の構造を完全に決定します．この基底は反対称交換関係ではなく，

　　［Ｊ1，Ｊ2］＝Ｊ3

　　［Ｊ2，Ｊ3］＝Ｊ1

　　［Ｊ3，Ｊ1］＝Ｊ2

という交換関係を満たしますが，この関係は形式的にはＳＯ（３）と同じものです．

　　ｓｕ（２）＝ｓｏ（３）

すなわちリー代数として同型というわけです．

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