［補］幾何学と単純リー群の分類

　単純リー群を分類するという問題はある意味では興味深い幾何学の可能性を決定することになります．キリングやカルタンの研究は面白い幾何学がどれだけできるかという設問に対する解答でもあり，大ざっぱにいえば，Ａ型が複素ユニタリ幾何，Ｂ型とＤ型がそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何，Ｃ型が４元数上の幾何学，５つの例外型は８元数上の幾何学に対応しています．線形代数はＡkという特定のルート系の理論であり，ユークリッド空間やシンプレクティック空間の幾何に対応するのはＢk，Ｃk，Ｄkの理論というわけです．

　カルタンによりコンパクト単純リー群は，例外的なものを除き，Ａ型，Ｂ型，Ｃ型，Ｄ型の４系列をなしていることが知られていますが，そのうちの２系列

　　Ｂ型　　　ＳＯ（２ｎ−１）（ｎ≧２）

　　Ｄ型　　　ＳＯ（２ｎ）　　（ｎ≧３）

は回転群で，Ｂ型とＤ型はそれぞれ奇数次元と偶数次元の実ユークリッド幾何に対応しています．なお，ｎ＝４が例外であることがこのことからもみてとれるでしょう．

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