［補］高次元の正多面体群

　まず，３次元空間の回転群の有限部分群は，コーシーが示したように

　　(1)巡回群Ｃn

　　(2)正二面体群Ｄ2n

　　(3)正多面体群，すなわち

　　　a)正四面体群（４次交代群：Ａ4）

　　　b)正八面体群（４次対称群：Ｓ4）

　　　c)正二十面体群（５次交代群：Ａ5）

に限られる．

　そしてこのことは超幾何関数が代数関数になったり，初等関数になったり，特殊関数になったりを決定する条件と関係している．なぜならば，１次分数変換は複素数球面上で考えると１つの回転に対応していて，たとえば，数ｘを

　　（ｘ−１）／（ｘ＋１）

に置き換えるには，北極と南極が赤道のところにくるように球を９０°回転させればよい．

　そして，写像関数が１価となるためには，有限な回転群である場合を調べれはよいことになるが，球面上の運動の有限群は５つの回転群（巡回群，正２面体群，正４面体群，正８面体群，正２０面体群）＝広義の正多面体群に限ることが知られているというわけである．このように回転群の話がまったく別の方面から現れることになにか「数学の神秘」を感じないだろうか．

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　正多面体は３，４，５次元以上でそれぞれ５種，６種，３種存在するが，双対正多面体や自己同型があるので，正多面体群としては３次元のときは３種，４次元のときは正５胞体群，正１６胞体群，正２４胞体群，正６００胞体群の４種，５次元以上では正単体群と超立方体群の２種である．

　星形正多面体は，ｎ＝３のとき４種あり，３次元の９種の正多面体（凸型５種＋星形４種）を，

　　(1)三角四角型（Ｓ4，Ａ4）：３種

　　(2)五角型（Ａ5）：６種

と分類することもできるだろう．なお，星形正多面体はｎ＝４のとき１０種あるが，ｎ≧５では存在しない．

　高次元の正多面体群について，コクセターはｎ次元ユークリッド空間の反転によって生成される群の研究を進め，コクセター群とよばれる一連の群について詳しく研究した．詳細については

　　一松信「高次元の正多面体」日本評論社

をご覧頂きたいのであるが，ｎ次元ユークリッド空間の変換群で，その基本領域が単体（正多胞体の基本単体）になるものの決定である．

　正多面体群とリー群との関連では，ｎ次元の正単体群はＡn，超立方体群はＢnまたはＣn，３次元の正二十面体群はＧ3，４次元の正２４胞体群はＦ4，４次元の正６００胞体群はＧ4と関連している．

　　１≡２−３　（Ｇ3）　　１≡２−３−４　（Ｇ4）

　ここで，Ｇ3，Ｇ4はＧ2に１個または２個の節点をつないだグラフであり，単純リー群では許されない形である（拡張されたディンキン図形）．また，例外群はＤn，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8のいずれかの形になることが示されている．

　ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列（Ａn，Ｂn，Ｃn，Ｄn）と６つの例外的な場合（Ｇ3，Ｆ4，Ｇ4，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8）に限るのである．

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