【４】既約ルート系の分類

　ルート系の分類は，それ自体大変面白いものらしいのですが，既約ルート系の同型類には，Ａ型からＧ型までのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　基本単体を鏡映も許しながら自分自身に重ねていく操作がルート系であり，それは，アメリカのキリングやフランスのカルタンによって成し遂げられた単純リー群の分類と関係しています．

　それによれば，階数ｎの既約ルート系は，Ａk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかであり，既約ルート系の分類の基づいて，単純リー群を分類すると９つの型があり，それらはＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと名づけられた４つの古典型とＥ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2と名づけられた５つの例外型でした（カルタンの分類定理）．

　ルート系（リー型の単純群）はＡ型からＧ型まで７種類あるとしてよく，４つの古典群，５系列の例外群，さらにそのうちで対称性をもつＡ，Ｄ，Ｅ6，Ｄ4の４系列，疑似対称性をもつＢ2，Ｇ2，Ｆ4の３系列で１６系列に細分することもできるでしょう．

　　・−・・・・・−・　　（Ａn：ｎ≧２のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　／

　　・−・・・・・　　　　（Ｄn：ｎ≧４のとき位数２の自己同型がある）

　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　・

　　　　　　３

　　　　　／

　　１−２　　　　（Ｄ4：位数３の自己同型がある）

　　　　　＼

　　　　　　４

　　　　　　４

　　　　　 ｜

　　１−２−３−５−６　　（Ｅ6：位数２の自己同型がある）

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

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　階数１のルート系はＡ1の１種類に限られ既約です．また，階数２のルート系はＡ1×Ａ1，Ａ2，Ｂ2，Ｇ2の４種類に限られます．Ａ2型，Ｂ2型，Ｇ2型のルート系は既約ですが，Ａ1×Ａ1型のルート系は既約ではありません．階数ｎの既約ルート系はＡk（ｋ≧１），Ｂk（ｋ≧２），Ｃk（ｋ≧３），Ｄk（ｋ≧４），Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2の型のいずれかなのです．

　最後に，複素単純リー代数の階数と次元との関係を表にしておきます．

　　(1)Ａk（ｋ≧１）　同次特殊線形群，k(k+2)次元

　　(2)Ｂk（ｋ≧２）　直交群，2k+1変数の２次形式，k(2k+1)次元

　　(3)Ｃk（ｋ≧３）　斜交群，2k変数のパッフ形式，k(2k+1)次元

　　(4)Ｄk（ｋ≧４）　直交群，2k変数の２次形式，k(2k-1)次元

　　(5)Ｅ6　　　　　　７８次元

　　(6)Ｅ7　　　　　　１３３次元

　　(7)Ｅ8　　　　　　２４８次元

　　(8)Ｆ4　　　　　　５２次元

　　(9)Ｇ2　　　　　　１４次元

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