【３】ディンキン図形

　前節では，平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えましたが，ルート系はｎ次元ユークリッド空間のベクトルの集合なので，それを平面上に図示するためには特別な工夫が必要となります．

　１次独立な２つのルートα，βのなす角をθとすると，

　　（α，β）＝｜α｜｜β｜ｃｏｓθ

ただし，（α，β）＞０，｜α｜≦｜β｜，０＜θ≦π／２としても一般性を失いません．

　また，

　　２（α，β）／（α，α）＝〈α，β〉

と略記すると，

　　〈β，α〉＝２｜β｜／｜α｜ｃｏｓθ

が成立しますから，

　　〈α，β〉〈β，α〉＝４ｃｏｓ^2θ

が得られます．

　ここで，ルート系の定義から，〈α，β〉は整数ですから，

　　４ｃｏｓ^2θ＝０，１，２，３

したがって，

　　θ＝π／２，π／３，π／４，π／６

に限られます．

　そのとき，ｎ次元単体の基底となるｎ個のベクトルの集合を

　　Φ＝｛α1，α2，・・・，αn｝

として，

　　〈αi，αj〉＝２（αi，αj）／（αj，αj）＝Ｃij

で与えられる整数をカルタン数，ｎ次正方行列Ｃ＝｛Ｃij｝をカルタン行列といいます．これはαjを長さ√２のベクトルとするとき，カルタン行列は内積（αi，αj）からなるグラミアンとして定義されることを意味しています．

　　θ　　｜β｜／｜α｜　〈α，β〉　〈β，α〉　〈α，β〉〈β，α〉

　π／２　　　　−　　　　　　０　　　　　０　　　　　　　０

　π／３　　　　１　　　　　　１　　　　　１　　　　　　　１

　π／４　　　　２　　　　　　１　　　　　２　　　　　　　２

　π／６　　　　３　　　　　　１　　　　　３　　　　　　　３

　カルタン行列ではこの４つの場合の値のみが許されます．カタラン数はそれほど多くの値をとるわけではないので，その状況を端的に表すグラフ（ディンキン図形）を考えることができます．そして，〈α，β〉〈β，α〉，すなわち，

　　θ＝π／２・・・・結ばない

　　θ＝π／３・・・・辺−で結ぶ（・−・）

　　θ＝π／４・・・・辺＝で結ぶ（・＝・）

　　θ＝π／６・・・・辺≡で結ぶ（・≡・）

と定めます．

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　ディンキン図形はカルタン行列に対応する平面グラフというわけですが，リー代数との関係をみてみましょう．

［１］ＳＵ（ｎ）

　ＳＵ（ｎ）代数は古典群と呼ばれる代数のうちの一組で，ＳＵ（ｎ＋１）代数はカルタンによりＡnと呼ばれたものです（Ａn＝ＳＵ（ｎ＋１））．

　行列式が１のｎ×ｎ複素ユニタリー行列の群ＳＵ（ｎ）のリー代数は，エルミートでトレース０のｎ×ｎ行列で生成され，それには線形独立なものがｎ^2−１個あります．

　それらの重みはｎ−１次元空間で正単体，すなわち，ＳＵ（２）に対し正三角形，ＳＵ（３）に対し正四面体をなします．したがって，ＳＵ（ｎ）のディンキン図形は

　　・−・−・・・−・−・

になり，ＳＵ（２）に対するディンキン図形は・，ＳＵ（３）に対しては・−・と表されます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］ＳＯ（ｎ）

　ＳＯ（ｎ）はｎ×ｎ直交行列の群，すなわちｎ次元実ベクトル空間における回転群です．ｎが偶数のとき（ｎ＝２ｍ），ｍ個の２次元部分空間に分解でき，そのディンキン図形は

　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　　　　　　／

　　・−・−・・・−・

　　　　　　　　　　　＼

　　　　　　　　　　　　・

となります．この代数ｓｏ（２ｍ）はカルタンがＤnと呼んだものです．

　それに対して，ｎ＝２ｍ＋１のときのディンキン図形は

　　・−・−・・・＝・

となり，この代数ｓｏ（２ｍ＋１）はＢnと呼ばれます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］Ｓｐ（２ｎ）

　　Ａを任意の反対称ｎ×ｎ行列，Ｓを対称ｎ×ｎ行列，σをパウリ行列として

　　Ｅ（×）Ａ，σi（×）Ｓ

の形をした２×２およびｎ×ｎエルミート行列のテンソル積（×）の形で与えられる２ｎ×２ｎ行列のなす群は，Ｓｐ（２ｎ）のリー代数をなします．

　Ｓｐ（２ｎ）リー代数はカルタンがＣnと呼んだもので，そのディンキン図形は

　　・−・−・・・＝・

となります．

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　行列の場合，ＸとＴ^(-1)ＸＴを同型といいますが，リー代数の同型とは交換子積の保存（交換子の行き先が行き先の交換子となっているもの）

　　ｆ（［Ｘ，Ｙ］）＝［ｆ（Ｘ），ｆ（Ｙ）］なる条件を満たすとき，同型であることをいいます．

　たとえば，

　　Ｊ1＝1/2［０，ｉ］　Ｊ2＝1/2［０，−１］　Ｊ3＝1/2［ｉ，　０］

　　　　　　［ｉ，０］　　　　　［１，　０］　　　　　［０，−ｉ］

とすると，Ｊ1，Ｊ2，Ｊ3はｓｕ（２）の基底をなし，

　　［Ｊ1，Ｊ2］＝Ｊ3

　　［Ｊ2，Ｊ3］＝Ｊ1

　　［Ｊ3，Ｊ1］＝Ｊ2

という交換関係を満たします．

　一方，

　　Ｌ1 ＝［０，０，０］　Ｌ2 ＝［０，０，１］　Ｌ3 ＝［０，−１，０］

　　　　　［０，０，−１］　　　［０，０，０］　　　　［１，０，０］

　　　　　［０，１，０］　　　　［−１，０，０］　　　［０，０，０］

はｏ（３）の基底で，

　　［Ｌ1，Ｌ2］＝Ｌ3

　　［Ｌ2，Ｌ3］＝Ｌ1

　　［Ｌ3，Ｌ1］＝Ｌ2

ですから同じ交換関係をみたします．

　このことからｓｕ（２）とｏ（３）は同型であることがわかります．（ＳＵ（２）とＯ（３）は集合としては同型ではありません．念のため・・・）

　同型を考慮してまとめあげると，

　　ｓｌ（ｎ＋１）・・・Ａn型単純リー代数（ｎ≧１）

　　ｏ（２ｎ＋１）・・・Ｂn型単純リー代数（ｎ≧２）

　　ｓｐ（２ｎ）・・・・Ｃn型単純リー代数（ｎ≧３）

　　ｏ（２ｎ）・・・・・Ｄn型単純リー代数（ｎ≧４）

となります．これらの代数が５つの特殊な代数Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8，Ｆ4，Ｇ2を合わせてすべての単純リー群を構成しているのです．

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