【２】ルート系

（問）１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく，平面を埋めつくすことができるか？

（答）この問題は平面を鏡映三角形で埋めるというものですが，１つの頂点に会する三角形は偶数に限る必要はありません．

　頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，

　　α＝２π／ｐ　　　ただし，ｐは３以上の自然数．

まったく，同様に残り２つの内角に対しても

　　β＝２π／ｑ，γ＝２π／ｒ

また，α＋β＋γ＝πより

　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１／２

が成り立ちます．

　ここで，３≦ｐ≦ｑ≦ｒと仮定すると

　　１／２＝１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ≦３／ｐ

より，３≦ｐ≦６

　さらに，ｐが奇数のとき，頂点Ａからでる２辺の長さは等しくならなければなりません．そうしないと折り返しでうまく重ならないからです．したがって，

(i)ｐ＝３のとき，ｑ＝ｒなので，

　　ｑ（ｑ−１２）＝０

これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，１２，１２）

(ii)ｐ＝４のとき，（ｑ−４）（ｒ−４）＝１６

これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０），（４，６，１２），（４，８，８）ですが，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０）は必要条件を満たすものの，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りになりません．凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものも平面充填はうまくいかないのです．

(iii)ｐ＝５のとき，ｑ＝ｒより，

　　ｑ（３ｑ−２０）＝０

これを満たす３以上の整数はありません．

(iv)ｐ＝６のとき，（ｑ−３）（ｒ−３）＝９

これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（６，６，６）

　結局，求めるタイル張りは

　　（６，６，６）　→　正三角形

　　（４，８，８）　→　直角二等辺三角形

　　（４，６，１２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

　　（３，１２，１２）→　３０°，３０°，１２０°の三角形

の４通りあることになり，実際に十分条件を満たします．

　３０°，６０°，９０°のモザイクは，３０°，３０°，１２０°の三角形からなるモザイクをさらに２個の直角三角形に分解してできる模様，直角二等辺三角形モザイクは正方格子（４，４）を４分割したもの，正三角形は正三角形格子（３，６）そのものです．

　３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様です．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様なのですが，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ここでは，平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えましたが，これを一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．

　ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ルート系ではベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は

　　Ａ2（正六角形：正三角形格子）

　　Ｂ2＝Ｃ2（正方形）

　　Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）

しかありません．→［補］

　正三角形モザイクからは正六角形が得られるのでＡ2，直角二等辺三角形モザイクは正方形の頂点と各辺の中点を結んでできるのでＢ2＝Ｃ2，麻の葉文様はダビデの星形六角形の各頂点になっているのでＧ2に相当します．

　ｓｌ（ｎ，Ｃ）の１組（２個）の正規直交基底を決め，ｎ^2−ｎ個のルートを図示すると，ｓｌ（３，Ｃ）では２次元ユークリッド空間で正６角形が得られます．このことを高次元に拡張してみましょう．

　ｓｌ（４，Ｃ）の１組の正規直交基底を決め，３次元ユークリッド空間で図示すると１２個の中心対称な点を得ることができるのですが，これらを頂点とする立体は立方八面体と呼ばれる準正多面体となります．立方八面体は立方体（あるいは正八面体）の各辺の中点を結んでできる６個の正方形面と８個の正三角形面からなる１４面体です．

　ｏ（２ｎ＋１，Ｃ）で同様のことを行うと２ｎ^2個のルートは，ｏ（５，Ｃ）のＲ^2の８点の場合，正方形の４個の頂点と各辺の中点４個，ｏ（７，Ｃ）のＲ^2の１８点の場合，立方八面体の１２個の頂点と６個の正方形面の中心の点となります．

　ｏ（２ｎ，Ｃ）には２ｎ^2−２ｎ個のルートがあるのですが，ｏ（４，Ｃ）のＲ^2の４点は正方形の４個の頂点，ｏ（６，Ｃ）Ｒ^2の１２点は立方八面体の１２個の頂点であって，ｓｌ（４，Ｃ）のルート系と同型となります．

　また，ｓｐ（ｎ，Ｃ）のルート系は２ｎ^2個の元の集まりであって，ｓｐ（２，Ｃ）の８点はｏ（５，Ｃ）と同型，ｓｐ（３，Ｃ）の１８点は正八面体の６個の頂点と１２本の辺の中点となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝