核物理学は中性子Ｎと陽子Ｐが結合して原子核をつくる機構を研究するものです．核の中では（重力を無視すれば）３つの力が働いていて，強い力はＮまたはＰを互いに結びつける，電磁相互作用はＰ相互間の反発力，弱い相互作用は不安定核のβ崩壊を引き起こす力となっています．

　強い相互作用をする素粒子はハドロンと呼ばれますが，強い相互作用をするすべての粒子はクォークからできていると仮定するとうまく説明できる実験事実があり，重粒子（バリオン）は３つのクォークから，中間子（メソン）は２つのクォークからなるものと考えられています．

　また，アイソスピン以外にも強い相互作用で保存し，弱い相互作用では保存しないような量が存在するのですが，その１つがハイパーチャージです．強い相互作用はアイソスピンとハイパーチャージの保存によって特徴づけられるのですが，横軸にアイソスピン，縦軸にハイパーチャージをとり，対応する粒子を平面上にプロットすると正六角形を描くとなるというのが八道説です．この六角形はＡ2型のルート系とまったく同じもので，ＳＵ（３）対称性を物語っています．

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【１】リー群とリー代数（復習）

　転置と複素共役を組み合わせた作用を(~)で表すことにすると，実数変数行列と複素変数行列の対応は以下のようになります．

　　　実数　　　　　　　　　　　　 複素数

　　対称行列（Ａ’＝Ａ ）　　→　エルミート行列（Ａ~＝Ａ）

　　直交行列（Ａ’＝Ａ^(-1)）→　ユニタリー行列（Ａ~＝Ａ^(-1)）

　　反対称行列（Ａ’＝−Ａ ）→　反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）

　ｎ次実変数一般線形群ＧＬ（ｎ，Ｒ）は行列の乗法のもとで群をなすわけですが，その行列交換子で定義されるリー代数も同じ行列の集合となり，ｎ×ｎ行列なのでそのベクトル次元はｎ^2です．また，ｎ×ｎ複素行列ＧＬ（ｎ，Ｃ）において，複素数は２つの実数で定義されるので，そのリー代数は２ｎ^2次元をもつことになります．

　ｎ次元直交群Ｏ（ｎ）はＡ^(-1)＝Ａ’を満たす行列の集合をなし，その行列式は±１となります．Ｏ（ｎ）のリー代数は反対称行列からなるので，次元はｎ（ｎ−１）／２であることが示されます．

　Ｏ（ｎ）において行列式が＋１であるものは特殊直交群ＳＯ（ｎ）なのですが，とくに，Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１を満たす３×３正方行列Ａは特殊直交群ＳＯ（３）をなします．これは３次元空間の回転を表す群となります．なお，球面上の運動の有限群については５つの回転群（巡回群，正２面体群，正４面体群，正８面体群，正２０面体群）＝広義の正多面体群に限られることはよく知られています．→［補］

　ユニタリー群Ｕ（ｎ）は，複素共役をとって転置することを意味する（エルミート共役）~を用いて，Ａ^(-1)＝Ａ~を満たす行列の集合です．Ｕ（ｎ）のリー代数はｎ×ｎ反エルミート行列（Ａ~＝−Ａ）ですから，ｎ（ｎ−１）／２個の複素数の非対角要素とｎ個の純虚数の対角要素からなるため，全体でｎ^2実次元をもちます．

　ｎ次元特殊ユニタリー群ＳＵ（ｎ）は，Ｕ（ｎ）の行列で行列式が１のものです．ＳＵ（ｎ）のリー代数はトレースが０の反エルミート行列からなるのですが，トレースが０という条件は自由度を１だけ減らすため，ＳＵ（ｎ）のリー代数の次元はｎ^2−１となります．

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