［補］４元数と行列

　積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．

　　Ｅ＝［１，０］　　　Ｊ＝［０，−１］　　　Ｊ^2＝−Ｅ

　　　　［０，１］　　　　　［１，　０］

とおけば，

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ2，　ａ1］

は

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ

と表されます．

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ，Ｂ＝ｂ1Ｅ＋ｂ2Ｊ

の形の行列全体は加法および乗法に関して閉じています．

　　Ａ＋Ｂ＝（ａ1＋ｂ1）Ｅ＋（ａ2＋ｂ2）Ｊ

　　ＡＢ＝（ａ1ｂ1−ａ2ｂ2）Ｅ＋（ａ1ｂ2＋ａ2ｂ1）Ｊ

乗法の可換性は成立しません．すなわち，［１］節では行列による表現を利用して複素数を導入したわけですが，類似の方法で４元数を行列の中に実現させる方法もあります．

　　Ｅ＝［１，０，０，０］

　　　　［０，１，０，０］

　　　　［０，０，１，０］

　　　　［０，０，０，１］

　　ｉ＝［０，−１，０，　０］　　ｊ＝［０，　０，−１，０］

　　　　［１，　０，０，　０］　　　　［０，　０，　０，１］

　　　　［０，　０，０，−１］　　　　［１，　０，　０，０］

　　　　［０，　０，１，　０］　　　　［０，−１，　０，０］

　　ｋ＝［０，０，　０，−１］　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［０，０，−１，　０］　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，　ａ3］

　　　　［０，１，　０，　０］　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［１，０，　０，　０］　　　　［ａ4，−ａ3，　ａ2，　ａ1］

とおけば

　　Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2ｉ＋ａ3ｊ＋ａ4ｋ

と書くことができます．

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　ＳＵ（２）を３次元球面：Ｓ^3と同一視するとき，

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ　→　［　ａ＋ｂｉ　ｃ＋ｄｉ］

　　　　　　　　　　　　　　　［−ｃ＋ｄｉ　ａ−ｂｉ］

　　ａ＝［　ａ1＋ａ2ｉ，ａ3＋ａ4ｉ］

　　　　［−ａ3＋ａ4ｉ，ａ1−ａ2ｉ］

　　Ａａ＝［　ｘ1’＋ｘ2’ｉ，ｘ3’＋ｘ4’ｉ］

　　　　　［−ｘ3’＋ｘ4’ｉ，ｘ1’−ｘ2’ｉ］

とすると，Ｒ^4での１次変換は

　　ｘ1’＝ａ1ｘ1−ａ2ｘ2−ａ3ｘ3−ａ4ｘ4

　　ｘ2’＝ａ2ｘ1＋ａ1ｘ2−ａ4ｘ3＋ａ3ｘ4

　　ｘ3’＝ａ3ｘ1＋ａ4ｘ2＋ａ1ｘ3−ａ2ｘ4

　　ｘ4’＝ａ4ｘ1−ａ3ｘ2＋ａ4ｘ3＋ａ1ｘ4

となりますから，Ｒ^4の標準基底による行列表示は

　　Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］

　　　　［ａ2，　ａ1，−ａ4，　ａ3］

　　　　［ａ3，　ａ4，　ａ1，−ａ2］

　　　　［ａ4，−ａ3，　ａ2，　ａ1］

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　以上のように，ハミルトンの４元数をＳＵ（２）行列の一部だと考えて，

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ　→　［　ａ＋ｂｉ　ｃ＋ｄｉ］

　　　　　　　　　　　　　　　［−ｃ＋ｄｉ　ａ−ｂｉ］

のように，４元数と２×２行列を対応させると，４元数の演算はそのまま行列の演算に移行します．さらに，ｃ＝ｄ＝０の場合を考えると，複素数も行列とみなせるというわけです．

　この体系では，４元数同様，

　　ｉ^2＝−Ｅ，ｊ^2＝−Ｅ，ｋ^2＝−Ｅ，

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，

　　ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

なる性質をもっていて，加法および乗法に関して閉じています．また，乗法の可換性は成立しません．

　この体系を用いると，

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）Ｅ＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）

のように，虚数単位ｉを陽に用いることなしに２つの行列の積に分解できますが，それでは４元数そのままであって，虚数単位ｉを使ったパウリ行列やディラック行列よりも面白味に欠けるかもしれません．

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