強い相互作用がＳＵ（３）リー代数と関係づけられ，ユニタリー群の表現論が素粒子の対称性に用いられるようになった１９５９年以来，物理学者たちはより高い対称性の群を追求し始め，現在ではクォークの基本的運動状態をゲージ理論と呼ばれる理論で記述できるまでになりました．

　そして，粒子の対称性を表すＳＵ（ｎ）のようなリー群と統合させて，ヤン・ミルズ場の理論が提唱されたのですが，電磁場はとくに一番簡単なＳＵ（１）すなわち絶対値１の複素数ｅｘｐ（ｉθ）全体からなる乗法群の場合に相当します．また，ＳＵ（５）はＳＵ（３）とＵ（１）×ＳＵ（３）を含む最小の単純群であることから，すべての素粒子の相互作用はＳＵ（５）にぴったりあてはまることもわかってきました．

　こうして，強い相互作用，弱い相互作用，電磁相互作用がひとつのリー代数に関係づけられ，大統一理論（ＧＵＴ）としてまとめあげられています．現在の課題はなぜこのような性質のクォークがあるのか，その答えを求めるとともに，重力まで含めた統一的な世界像を模索している段階にあるのです．

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【１】ルート系

　ｎ次元空間をを鏡映単体で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題を考えます．R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．

　ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ルート系ではベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は

　　Ａ2（正六角形：正三角形格子）

　　Ｂ2＝Ｃ2（正方形）

　　Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）

しかありません．

　正三角形モザイクからは正六角形が得られるのでＡ2，直角二等辺三角形モザイクは正方形の頂点と各辺の中点を結んでできるのでＢ2＝Ｃ2，麻の葉文様はダビデの星形六角形の各頂点になっているのでＧ2に相当します．

　ｓｌ（ｎ，Ｃ）の１組（２個）の正規直交基底を決め，ｎ^2−ｎ個のルートを図示すると，ｓｌ（３，Ｃ）では２次元ユークリッド空間で正６角形が得られます．このことを高次元に拡張してみましょう．

　ｓｌ（４，Ｃ）の１組の正規直交基底を決め，３次元ユークリッド空間で図示すると１２個の中心対称な点を得ることができるのですが，これらを頂点とする立体は立方八面体と呼ばれる準正多面体となります．立方八面体は立方体（あるいは正八面体）の各辺の中点を結んでできる６個の正方形面と８個の正三角形面からなる１４面体です．

　ｏ（２ｎ＋１，Ｃ）で同様のことを行うと２ｎ^2個のルートは，ｏ（５，Ｃ）のＲ^2の８点の場合，正方形の４個の頂点と各辺の中点４個，ｏ（７，Ｃ）のＲ^2の１８点の場合，立方八面体の１２個の頂点と６個の正方形面の中心の点となります．

　ｏ（２ｎ，Ｃ）には２ｎ^2−２ｎ個のルートがあるのですが，ｏ（４，Ｃ）のＲ^2の４点は正方形の４個の頂点，ｏ（６，Ｃ）Ｒ^2の１２点は立方八面体の１２個の頂点であって，ｓｌ（４，Ｃ）のルート系と同型となります．

　また，ｓｐ（ｎ，Ｃ）のルート系は２ｎ^2個の元の集まりであって，ｓｐ（２，Ｃ）の８点はｏ（５，Ｃ）と同型，ｓｐ（３，Ｃ）の１８点は正八面体の６個の頂点と１２本の辺の中点となります．

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