■リー群と表現(その8)

【1】SU(2)とパウリ行列

 2次元特殊ユニタリー群SU(2)は,複素ユニタリー2×2行列で行列式1なるもの全体です.

  SU(2)={GL(2,C)|A’A=E,|A|=1}

そのリー環は複素2次正方行列で

  su(2)={GL(2,C)|X’~=−X,Tr(X)=0}

となる行列です.

 リー群の部分空間がリー環であって,

X+X~=0,Tr(X)=0

の一般型を求めれば

  X=[ix3,−x2+ix1]

    [x2+ix1,−ix3]

となります.

 したがって,パウリ行列

  σx=[0,1]   σy=[0,−i]   σz=[1, 0]

     [1,0]      [i, 0]      [0,−1]

はSU(2)の基底となり,SU(2)の任意の元は基底の線形結合

  σ=Xσx +Yσy +Zσz =[ Z,X−iY]

                [X+iY,−Z]

で表されます.

 パウリ行列では

  Tr(σiσj)=2δij

δはクロネッカーのデルタで

  δij=1(i=j)

    =0(i≠j)

となっています.そこで,基底の規格化条件として

  Tr(TiTj)=1/2δij

を課すと,基底は

  Ti=σi/2

で与えられます.

  T1=1/2[0,1] T2=1/2[0,−i] T3=1/2[1, 0]

      [1,0]     [i, 0]     [0,−1]

 こうしてもっとも簡単な非可換リー代数su(2)は,一般に3つの基底Tiからなる反対称交換関係

  [T1,T2]=iT3

  [T2,T3]=iT1

  [T3,T1]=iT2

で与えられることになります.

 回転群の基底はこの反対称交換関係を満たしているのですが,1925〜26年には,電子は単なる質点ではなく自転によるスピン角運動量±1/2をもつことがわかっていて,この関係は角運動量代数としてよく知られています.

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 この群がsu(2)と呼ばれるものですが,基底は一意ではなく,たとえば,SO(3)の回転群に一致させるためにパウリ行列に±i/2を乗じた行列も基底となります.

  J1=1/2[0,i] J2=1/2[0,−1] J3=1/2[i, 0]

      [i,0]     [1, 0]     [0,−i]

 この場合もJ1,J2,J3はsu(2)の基底をなし,su(2)の構造を完全に決定します.この基底は反対称交換関係ではなく,

  [J1,J2]=J3

  [J2,J3]=J1

  [J3,J1]=J2

という交換関係を満たしますが,この関係は形式的にはSO(3)と同じものです.

  su(2)=so(3)

すなわちリー代数として同型というわけです.

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【2】SU(3)とゲルマン行列

 SU(3)は行列式が1の3×3ユニタリー行列のなす群です.λiをその基底とすると,それらはエルミート行列にとることができて,トレースが0の3×3エルミート行列になります.トレースが0の制限は行列式が1という条件からくるものです.

 標準的な基底はゲルマンのλ行列で与えられます.

  λ1 =[0,1,0] λ2 =[0,−i,0] λ3 =[1,0,0]

     [1,0,0]    [i,0,0]     [0,−1,0]

     [0,0,0]    [0,0,0]     [0,0,0]

  λ4 =[0,0,1] λ5 =[0,0,−i] λ6 =[0,0,0]

     [0,0,0]    [0,0,0]     [0,0,1]

     [1,0,0]    [i,0,0]     [0,1,0]

  λ7 =[0,0,0]  λ8 =1/√3[1,0,0]

     [0,0,−i]        [0,1,0]

     [0,i,0]         [0,0,−2]

 これらのうちでλ1,λ2,λ4,λ5,λ6,λ7は非対角行列であり,σx,σy,σzに新たな行と列をつけ加えたものになっています.とくにλ1,λ2,λ3の3つはSU(3)の中でアイソスピン部分群と呼ばれるSU(2)部分代数を生成します.

 一方,λ3,λ8は対角行列であり,互いに交換します.

  [λ3,λ8]=0

λ3と可換な基底がλ3以外に1つだけあり,それがλ8なのです.

 SU(2)の場合と同様に,基底として

  Tr(TiTj)=1/2δij

を満たすものを選ぶと,基底は

  Tj=λj/2

となります.また,パウリのスピン行列はアイソスピン行列γiと単位行列E2から構成されるものでしたが,ゲルマン行列の場合,E2に相当するものは

  λ0 =√2/3[1,0,0]

         [0,1,0]

         [0,0,1]

で与えられます.

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 SU(3)の場合,SU(2)のパウリ行列

  σx=[0,1]   σy=[0,−i]   σz=[1, 0]

     [1,0]      [i, 0]      [0,−1]

に対応するのがゲルマン行列であって,パウリのスピン行列に類似した8個の基底をもつのですが,一般にSU(n)のリー代数はトレース0の反エルミート行列からなり,それには線形独立なものがn^2−1個あります.

 SU(2)では3個の基底(1/2σi),SU(3)では8個の基底(1/2λi),

SU(6)では35個の基底からなるのですが,その内訳は

  8(1/2λ)+3(1/2σ)+8×3(1/2λσ)=35

となります.SU(mn)の基底は

  m^2−1+n^2−1+(m^2−1)(n^2−1)=(mn)^2−1

というわけです.

 SU(3)に対する議論はSU(2)の場合よりも少し複雑になるだけのことであって,3×3のユニタリー行列は8個の独立な基底の線形結合によって生成されます.また,SU(3)対称性については,2個の正規直交基底を決めてルートを図示すると,それは六角形のパターンに8種類の粒子を配置した有名な「八道説」のダイアグラムによって表現されることになるのです.

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