【１】ＳＵ（２）とパウリ行列

　２次元特殊ユニタリー群ＳＵ（２）は，複素ユニタリー２×２行列で行列式１なるもの全体です．

　　ＳＵ（２）＝｛ＧＬ（２，Ｃ）｜Ａ’Ａ＝Ｅ，｜Ａ｜＝１｝

そのリー環は複素２次正方行列で

　　ｓｕ（２）＝｛ＧＬ（２，Ｃ）｜Ｘ’~＝−Ｘ，Ｔｒ（Ｘ）＝０｝

となる行列です．

　リー群の部分空間がリー環であって，

Ｘ＋Ｘ~＝０，Ｔｒ（Ｘ）＝０

の一般型を求めれば

　　Ｘ＝［ｉｘ3，−ｘ2＋ｉｘ1］

　　　　［ｘ2＋ｉｘ1，−ｉｘ3］

となります．

　したがって，パウリ行列

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

はＳＵ（２）の基底となり，ＳＵ（２）の任意の元は基底の線形結合

　　σ＝Ｘσx ＋Ｙσy ＋Ｚσz ＝［　Ｚ，Ｘ−ｉＹ］

　　　　　　　　　　　　　　　　［Ｘ＋ｉＹ，−Ｚ］

で表されます．

　パウリ行列では

　　Ｔｒ（σiσj）＝２δij

δはクロネッカーのデルタで

　　δij＝１（ｉ＝ｊ）

　　　　＝０（ｉ≠ｊ）

となっています．そこで，基底の規格化条件として

　　Ｔｒ（ＴiＴj）＝１／２δij

を課すと，基底は

　　Ｔi＝σi／２

で与えられます．

　　Ｔ1＝1/2［０，１］　Ｔ2＝1/2［０，−ｉ］　Ｔ3＝1/2［１，　０］

　　　　　　［１，０］　　　　　［ｉ，　０］　　　　　［０，−１］

　こうしてもっとも簡単な非可換リー代数ｓｕ（２）は，一般に３つの基底Ｔiからなる反対称交換関係

　　［Ｔ1，Ｔ2］＝ｉＴ3

　　［Ｔ2，Ｔ3］＝ｉＴ1

　　［Ｔ3，Ｔ1］＝ｉＴ2

で与えられることになります．

　回転群の基底はこの反対称交換関係を満たしているのですが，１９２５〜２６年には，電子は単なる質点ではなく自転によるスピン角運動量±１／２をもつことがわかっていて，この関係は角運動量代数としてよく知られています．

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　この群がｓｕ（２）と呼ばれるものですが，基底は一意ではなく，たとえば，ＳＯ（３）の回転群に一致させるためにパウリ行列に±ｉ／２を乗じた行列も基底となります．

　　Ｊ1＝1/2［０，ｉ］　Ｊ2＝1/2［０，−１］　Ｊ3＝1/2［ｉ，　０］

　　　　　　［ｉ，０］　　　　　［１，　０］　　　　　［０，−ｉ］

　この場合もＪ1，Ｊ2，Ｊ3はｓｕ（２）の基底をなし，ｓｕ（２）の構造を完全に決定します．この基底は反対称交換関係ではなく，

　　［Ｊ1，Ｊ2］＝Ｊ3

　　［Ｊ2，Ｊ3］＝Ｊ1

　　［Ｊ3，Ｊ1］＝Ｊ2

という交換関係を満たしますが，この関係は形式的にはＳＯ（３）と同じものです．

　　ｓｕ（２）＝ｓｏ（３）

すなわちリー代数として同型というわけです．

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【２】ＳＵ（３）とゲルマン行列

　ＳＵ（３）は行列式が１の３×３ユニタリー行列のなす群です．λiをその基底とすると，それらはエルミート行列にとることができて，トレースが０の３×３エルミート行列になります．トレースが０の制限は行列式が１という条件からくるものです．

　標準的な基底はゲルマンのλ行列で与えられます．

　　λ1 ＝［０，１，０］　λ2 ＝［０，−ｉ，０］　λ3 ＝［１，０，０］

　　　 　［１，０，０］　　 　［ｉ，０，０］　　　 　［０，−１，０］

　　　 　［０，０，０］　　 　［０，０，０］　　　 　［０，０，０］

　　λ4 ＝［０，０，１］　λ5 ＝［０，０，−ｉ］　λ6 ＝［０，０，０］

　　　 　［０，０，０］　　 　［０，０，０］　　　 　［０，０，１］

　　　 　［１，０，０］　　 　［ｉ，０，０］　　　 　［０，１，０］

　　λ7 ＝［０，０，０］　　λ8 ＝１／√３［１，０，０］

　　　 　［０，０，−ｉ］　　 　　　　　［０，１，０］

　　　 　［０，ｉ，０］　　　 　　　　　［０，０，−２］

　これらのうちでλ1，λ2，λ4，λ5，λ6，λ7は非対角行列であり，σx，σy，σzに新たな行と列をつけ加えたものになっています．とくにλ1，λ2，λ3の３つはＳＵ（３）の中でアイソスピン部分群と呼ばれるＳＵ（２）部分代数を生成します．

　一方，λ3，λ8は対角行列であり，互いに交換します．

　　［λ3，λ8］＝０

λ3と可換な基底がλ3以外に１つだけあり，それがλ8なのです．

　ＳＵ（２）の場合と同様に，基底として

　　Ｔｒ（ＴiＴj）＝１／２δij

を満たすものを選ぶと，基底は

　　Ｔj=λj／２

となります．また，パウリのスピン行列はアイソスピン行列γiと単位行列Ｅ2から構成されるものでしたが，ゲルマン行列の場合，Ｅ2に相当するものは

　　λ0 ＝√２／３［１，０，０］

　　　 　　　　　［０，１，０］

　　　 　　　　　［０，０，１］

で与えられます．

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　ＳＵ（３）の場合，ＳＵ（２）のパウリ行列

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

に対応するのがゲルマン行列であって，パウリのスピン行列に類似した８個の基底をもつのですが，一般にＳＵ（ｎ）のリー代数はトレース０の反エルミート行列からなり，それには線形独立なものがｎ^2−１個あります．

　ＳＵ（２）では３個の基底（1/2σi），ＳＵ（３）では８個の基底（1/2λi），

ＳＵ（６）では３５個の基底からなるのですが，その内訳は

　　８（1/2λ）＋３（1/2σ）＋８×３（1/2λσ）＝３５

となります．ＳＵ（ｍｎ）の基底は

　　ｍ^2−１＋ｎ^2−１＋（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＝（ｍｎ）^2−１

というわけです．

　ＳＵ（３）に対する議論はＳＵ（２）の場合よりも少し複雑になるだけのことであって，３×３のユニタリー行列は８個の独立な基底の線形結合によって生成されます．また，ＳＵ（３）対称性については，２個の正規直交基底を決めてルートを図示すると，それは六角形のパターンに８種類の粒子を配置した有名な「八道説」のダイアグラムによって表現されることになるのです．

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