抽象代数学が発展し，いまとなっては何百もの代数構造が数学では使われている．それぞれが独自の公理系によって定義されている．

　リー群が現代数学において重要なのは，古典力学や量子力学，光学などの多くの系は対称性をもっており，その対称性はリー群の構造をしているからである．

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［１］パウリ行列

　行列を使うと円に相当するｘ^2＋ｙ^2が因数分解できたわけですから，さらに行列を使って球に相当するｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2も分解してみたい・・・．そして実際に，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

の因数分解を可能にするのが「パウリ行列」です．

　パウリ行列は

　　σx＝［０，１］　　　σy＝［０，−ｉ］　　　σz＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．

　　σx^2＝Ｅ2，σy^2＝Ｅ2，σz^2＝Ｅ2

　また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，

　　σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz

のように符号が逆となり，

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　σxσy−σyσx＝２ｉσz

のような関係が成立します．

　ここで，行列

　　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz＝［　　　ｚ，ｘ−ｙｉ］

　　　　　　　　　　　　 ［ｘ＋ｙｉ，　　−ｚ］

を考え，この行列を２乗してみます．すると，

　　（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2，０］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2］

　　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ

　結局，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅという行列は，（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2に分解できたことになります．４元数を使わないとできなかった因数分解が，行列を利用すると分解できるトリックは，行列の成分として虚数単位を含んでいるうえに，行列自体にも虚数の働きがあり，普通の数にはない機能を２重に使っているからと考えられます．

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［２］ディラック行列

　パウリの行列において

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｒ^2

は３次元空間での球に相当するわけですが，歴史的にはパウリが基本粒子のスピンを数学的に表現するために考案したものです．この考えがヒントになって，ディラックが４次元時空における時間の項を加えた

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2

を因数分解するために「ディラック行列」を使いました．

　　αx＝［０，０，０，１］　　αy＝［０，　０，０，−ｉ］

　　　 　［０，０，１，０］　　　 　［０，　０，ｉ，　０］

　　　 　［０，１，０，０］　　　 　［０，−ｉ，０，　０］

　　　 　［１，０，０，０］　　　 　［ｉ，　０，０，　０］

　　αz＝［０，　０，１，　０］　　β＝［１，０，　０，　０］

　　　 　［０，　０，０，−１］　　　　［０，１，　０，　０］

　　　 　［１，　０，０，　０］　　　　［０，０，−１，　０］

　　　 　［０，−１，０，　０］　　　　［０，０，　０，−１］

　これらの４組の２×２行列をディラック行列と呼ぶのですが，前項と同様に，

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ

　＝［　ｔ，　　０，　　ｚ，　ｘ−ｙｉ］

　　［　０，　　ｔ，　ｘ＋ｙｉ，−ｚ　］

　　［　ｚ，　ｘ−ｙｉ，−ｔ，　０　　］

　　［ｘ＋ｙｉ，−ｚ　，０，　　−ｔ　］

　　（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2

　＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０，０］

　　［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０］

　　［０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０］

　　［０，０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2］

　＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅ

という関係が確かめられます．これで，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅという行列は，（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2に分解できることがわかりました．

　ちなみに，ディラック行列をパウリ行列で表現すると，

　　αx＝［０，σx］　　αy＝［０，σy］　　αz＝［０，σz］

　　　 　［σx，０］　　　 　［σy，０］　　　 　［σz，０］

　　β＝［Ｅ2，　０］

　　　　［０，−Ｅ2］

　　ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ＝［ｔＥ2，　ｘσx＋ｙσy＋ｚσz］

　　　　　　　　　　　　　　　 ［ｘσx＋ｙσy＋ｚσz，−ｔＥ2］

と表すことができます．

　このことから

　　αx^2＝Ｅ4，αy^2＝Ｅ4，αz^2＝Ｅ4，β^2＝Ｅ4

　　αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxαy−αyαx＝２ｉ［σz，０］

　　　　　　　　　　　　［０，σz］

　　αxβ＋βαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　　αxβ−βαx＝２［０，−σx］

　　　　　　　　　　［σx，　０］

と計算されます．ディラック行列がパウリ行列に一工夫加えた様子を窺い知ることができるでしょう．

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　ここで述べたように，パウリ行列を

　　σ1＝［０，１］　　　σ2＝［０，−ｉ］　　　σ3＝［１，　０］

　　　 　［１，０］　　　　 　［ｉ，　０］　　　　 　［０，−１］

とすると，

　　σiσj＋σjσi＝２δij

すなわち，

　　σxσx＋σyσy＝２Ｅ2（ゼロ行列）

　　σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）

が確かめられます．

　パウリ行列に続いて

　　γiγj＋γjγi＝２δij

を満たすγはｎ＝４で実現しますが，それがディラック行列というわけです．

　　αxαx＋αyαy＝Ｅ4

　　αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）

　ディラック行列にはいろいろな記法があって，４行４列のγを２行２列のσを使って

　　γ0 ＝［ｉＥ2，　０］　　　γi ＝［０，σi］

　　　　　［０，−ｉＥ2］　　　　　　［σi，０］

と表したもの，γ0＝ｉγ4と置き換えたもの，あるいは

　　β＝［Ｅ2，　０］　　　αi ＝［０，　　σi］

　　　　［０，−Ｅ2］　　　　　　［−ｉσi，０］

　　β＝−ｉγ0，αi＝γ0γi

と定義して，このαiとβの４つで表したもの等々．

　ともあれ，

　　ξiξj＋ξjξi＝２δij

なる関係式があれば，ξはクリフォード代数をなすというわけです．

ここで述べたことはパウリ行列の一般化にほかならないのですが，物理学への応用についていえば，２次元複素空間の任意の基底ベクトル（スピノルと呼ばれる）は電子のスピン状態を記述するのに用いられ，また，クリフォード代数としての取り扱いの中から，スピンが半整数のフェルミ粒子，整数スピンをもつボーズ粒子が導かれています．

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