【３】正十二面体の場合

［Ｑ］角δがｔａｎδ＝−２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．

［Ａ］

　　ｔａｎδ＝−２

　　ｔａｎ２δ＝４／３

　　ｔａｎ３δ＝−２／１１

　　ｔａｎ４δ＝−２４／７

　　ｔａｎ５δ＝−３８／４１

　　ｔａｎｎδ＝ａ／ｂ

ならば

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ−２ｂ）／（２ａ＋２ｂ）

　　Ｚ12＝−√５／５＋√２０／５ｉ

　　ｚ＋√５／５＝−ｉ√２０／５

より，Ｚ12は２次方程式５ｚ^2＋２√５ｚ＋５＝０の解である．

　そこで，この分数の（ａ，ｂ）＝（−２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ−２ｂ，２ａ＋ｂ）を（ｍｏｄ　５）でみると

　　（−２，１）＝（３，１）

　　（−４，−３）＝（１，２）

　　（２，−１１）＝（２，４）

　　（２４，−７）＝（１，３）

　　（３８，−４１）＝（３，１）

の４ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．

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