【１】正四面体の場合

［Ｑ］角δがｔａｎδ＝２√２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．

［Ａ］もしδがπの有理数倍ならば，あるｎに対しｎδがπの整数倍となって，ｔａｎｎδ＝０または∞となる．そこで，すべての整数ｎに対し，ｔａｎｎδ≠０，∞であることを示す．

　加法公式

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ｔａｎδ＋ｔａｎｎδ）／（１−ｔａｎδｔａｎｎδ）

より，

　　ｔａｎδ＝２√２

　　ｔａｎ２δ＝−４√２／７

　　ｔａｎ３δ＝１０√２／２３

　　ｔａｎ４δ＝−５６√２／１７

　　ｔａｎｎδ＝ａ√２／ｂ

ならば

　　ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ＋２ｂ）√２／（ｂ−４ａ）

帰納的にｔａｎｎδはすべてのｎに対して√２の有理数倍（＝ａ√２／ｂ）であることがわかる．

　この分数の（ａ，ｂ）＝（２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ＋２ｂ，ｂ−４ａ）を（ｍｏｄ　３）でみると

　　（２，１）

　　（４，−７）＝（１，２）

　　（−１０，−２３）＝（２，１）

　　（−５６，１７）＝（１，２）

の２ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．

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　ところで，この証明には（ｍｏｄ　３）が現れた．あまりにも唐突すぎて，この意味をわかるひとはたとえいたとしても少ないと思われる．

　　Ｚ4＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝１／３＋ｉ√８／３

　　ｚ−１／３＝ｉ√８／３

より，Ｚ4は２次方程式３ｚ^2−２ｚ＋３＝０の解であるからというのがその理由である．

　　［参］Hartshorne "Geometry: Euclid and Beyond", Springer-Verlag

お読みいただき洞察してほしい．

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