ｘ^n−１＝０において、x+1/x=2cosθであれば,

x^2-2cosθ・x+1＝0

x^2n-2cosθ・x^n+1＝0

これらは解

x=cosθ+/-isinθ　

x^n=cosnθ+/-isinnθ

をもつ

cosθ=1/3

x+1/x=2/3であれば、その根は次数ｎの1のベキ根である。

x^n+1/x^n=2cosnθは分母に3^kを持つ。

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cosδ=1/3より

cos2δ=-7/9

cos3δ=-23/27

cos(k+1)δ=2coskδ・cosδ-cos(k-1)δ=ak+1/3^(k+1)

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α=arccos(1/3)/π

α=2m/nとすると矛盾。

α=arccos(1/3)/πは有理数ではない 。

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