［１］基本単数

　まず最初に，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数について説明することから始めたいと思います．Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は

　　ω＝√ｍ　　　　　　　　　ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）

　　ω＝（１＋√ｍ）／２　　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）

で与えられます．

　そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は

　　｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）

によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，

　　Ｃ＝｛±ε^n｝

と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．

　実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，

［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝ａ＋ｂ√ｍ

とすると

　　ε~＝ａ−ｂ√ｍ

εが単数←→εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１

また，

　　ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ

と書くと

　　ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）

　　　　　　＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ

　これより

　　ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ

　　ｂn+1＝ａｂn＋ｂａn

　このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，より，ａ，ｂはペル方程式：

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±１

の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．

　Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２

　　ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３

　　ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６

　　ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７

［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は前と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

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　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

とおいて

　　ｎ＝１：１^2−２・１^2＝−１

　　ｎ＝２：３^2−２・２^2＝＋１

　　ｎ＝３：７^2−２・５^2＝−１

　　ｎ＝４：１７^2−２・１２^2＝＋１

　　ｎ＝５：４１^2−２・２９^2＝−１

　　ｎ＝６：９９^2−２・７０^2＝＋１

　　ｎ＝７：２３９^2−２・１６９^2＝−１

　　ｎ＝８：５７７^2−２・４０８^2＝＋１

　　ｎ＝９：１３９３^2−２・９８５^2＝−１

　　ｎ＝10：３３６３^2−２・２３７８^2＝＋１

一般に，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となります．

　Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，

　　ｎ＝１：２^2−３・１^2＝＋１

　　ｎ＝２：７^2−３・４^2＝＋１

　　ｎ＝３：２６^2−３・１５^2＝＋１

　　ｎ＝４：９７^2−３・５６^2＝＋１

　　ｎ＝５：３６２^2−３・２０９^2＝＋１

　　ｎ＝６：１３５１^2−３・７８０^2＝＋１

　　ｎ＝７：５０４２^2−３・２９１１^2＝＋１

　　ｎ＝８：１８８１７^2−３・１０８６４^2＝＋１

　　ｎ＝９：７０２２６^2−３・４０５４５^2＝＋１

　　ｎ＝10：２６２０８７^2−３・１５１３１６^2＝＋１

一般に，ａn^2−２ｂn^2＝１でａn^2−２ｂn^2＝−１となる解は存在しません．

　この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが−１のときには

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝＋１

と

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝−１

はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．

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　以下，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数εを掲げますが

ｍ　　ペル方程式の最小解　　　　　　　　ε　　　　　　　　　　　ノルム

２　　１^2−２・１^2＝−１　　　　　　　１＋√２　　　　　　　　　−１

３　　２^2−３・１^2＝＋１　　　　　　　２＋√３　　　　　　　　　＋１

５　　１^2−５・１^2＝−４　　　　　　　（１＋√５）／２　　　　　−１

６　　５^2−６・２^2＝＋１　　　　　　　５＋２√６　　　　　　　　＋１

７　　８^2−７・３^2＝＋１　　　　　　　８＋３√７　　　　　　　　＋１

10　　３^2−１０・１^2＝−１　　　　　　３＋√１０　　　　　　　　−１

11　　１０^2−１１・３^2＝＋１　　　　　１０＋３√１１　　　　　　＋１

13　　３^2−１３・１^2＝−４　　　　　　（３＋√１３）／２　　　　−１

14　　１５^2−１５・４^2＝＋１　　　　　１５＋４√１４　　　　　　＋１

15　　４^2−１５・１^2＝＋１　　　　　　４＋√１５　　　　　　　　＋１

17　　８^2−１７・２^2＝−４　　　　　　４＋√１７　　　　　　　　−１

19　　１７０^2−１９・３９^2＝＋１　　　１７０＋３９√１９　　　　＋１

21　　５^2−２１・１^2＝＋４　　　　　　（５＋√１７）／２　　　　＋１

22　　１９７^2−２２・４２^2＝＋１　　　１９７＋４２√２２　　　　＋１

23　　２４^2−２３・５^2＝＋１　　　　　２４＋５√２３　　　　　　＋１

26　　５^2−２６・１^2＝−１　　　　　　５＋√２６　　　　　　　　−１

29　　５^2−２９・１^2＝−４　　　　　　（５＋√２９）／２　　　　−１

30　　１１^2−３０・２^2＝＋１　　　　　１１＋２√３０　　　　　　＋１

31　　１５２０^2−３１・２７３^2＝＋１　１５２０＋２７３√３１　　＋１

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