【２】２倍性

　その際，周期の最後の数は最初の数ｑ0の２倍に等しい，すなわち，

　　√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn-1，２ｑ0，・・・］

という周期ｎの連分数展開が得られます．

　　√２＝［１；２，・・・］

　　√３＝［１；１，２，・・・］

　　√５＝［２；４，・・・］

　　√６＝［２；２，４，・・・］

　　√７＝［２；１，１，１，４，・・・］

すなわち，どの循環節もｑn＝２ｑ0＝［２√ｍ］で終わっています．

　たとえば，√１９９の展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

をみると，１４で始まり２８で終わるというのもこの理由によります．

　このように，標準無限連分数のうち，部分分母列のあるところから先が巡回的になる循環連分数は２次の無理数（整数係数の２次方程式の解として表される数）に収束します．この性質により，整数項の標準連分数はいわゆるペル方程式：ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）の解法など整数論の分野で活用されます．

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