【７】ヒンチンの定理

ヒンチンは，連分数の測度論，すなわち，その部分商がａになる確率：ｌｏｇ2（１＋１／ａ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ａ＋１））

＝ｌｏｇ2（（ａ＋１）^2／（（ａ＋１）^2−１））

からのアプローチから，一般の連分数

　　［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

の大多数についてあてはまる法則を発見しています．ヒンチンの定理とは，ほとんどすべての実数について，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数

　　（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･

に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．ただし，分母に明確なパターンのある代数的数やｅをはじめとするいくつかの超越数は例外になります．

　　（ｅの場合，（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→0.6259･･･）

また，ヒンチンは

　　ａ1＋ａ2＋・・・＋ａn〜ｎｌｏｇ2ｎ

　　（ｌｏｇａ1＋ｌｏｇａ2＋・・・＋ｌｏｇａn）／ｎ〜ｌｏｇ2ｎ

を証明しました．算術平均は発散するのに対し幾何平均は収束するというわけですが，ほとんどすべての連分数の場合，調和平均も収束し，その極限値は

　　ｎ／（1/ａ1+1/ａ2+・・・+1/ａn）→１．７４５４０５６８・・・

　また，ｎ項までの連分数展開ｐn／ｑnの近似分数の分母ｑnが

　　（ｑn)^1/n→ｅｘｐ（π^2/12log2)＝３．２７５８２・・・

になることを示しました．

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