【６】連分数の測度論（ガウスの定理）

数を連分数で表示すると部分商に数字１が大量に出現することに気づきます．たとえば，平方根の連分数展開では

√４３＝［６；１，１，３，１，５，１，３，１，１，１２，・・・］

√５４＝［７；２，１，６，１，２，１４，・・・］

√７６＝［８；１，２，１，１，５，４，５，１，１，２，１，１６，・・・］

√９４＝［９；１，２，３，１，１，５，１，８，１，５，１，１，３，２，１，１８，・・・］

√１０００＝［３１；１，１，１，１，１，６，２，２，１５，２，２，６，１，１，１，１，１，６２，・・・］

超越数の連分数展開では

ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

π＝［３；７，１５，１，２９２，１，１，１，２，１，３，１，１４，２，１，１，２，２，２，２，１，８４，２，１，１，１５，３，１３，１，４，２，６，６，９９，１，２，２，６，３，５，１，１，６，・・・］

商がｄになる確率は

　　ｌｏｇ2（１＋１／ｄ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｄ＋１））

＝ｌｏｇ2（（ｄ＋１）^2／（（ｄ＋１）^2−１））

　商が１になる確率はｌｏｇ2（４／３）＝４１．５０４％

　商が２になる確率はｌｏｇ2（９／８）＝１６．９９３％

　商が３になる確率はｌｏｇ2（１６／１５）＝９．３１１％

　商が４になる確率はｌｏｇ2（２５／２４）＝５．８８９％

以下.04 .03 .02 .02 .16と減少していきます．商が１となる確率は４１％で，これはベンフォードの法則，最大桁が１になる頻度ｌｏｇ10２＝０．３０１０よりも高いことになります．

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