【１】ヒンチンの定理

　ａnの幾何平均値を求めてみます．１９３５年，ヒンチンは一般の連分数

　　［ａ0：ａ1，ａ2，ａ3，・・・，ａn，・・・］

の大多数についてあてはまる法則を発見しています．

　ヒンチンの定理とは，幾何平均（ａ1ａ2・・・ａn）^1/nの値がｎ→∞のとき，ある無限乗積から定まる定数

　　（ａ1ａ2・・・ａn）^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001･･･

に収束するというものです．κ＝２．６８５４５・・・はヒンチンの定数として知られています．

　また，ヒンチンは

　　ａ1＋ａ2＋・・・＋ａn〜ｎｌｏｇ2ｎ

を証明しました．算術平均は発散するのに対し幾何平均は収束するというわけですが，ほとんどすべての連分数の場合，調和平均も収束し，その極限値は

　　ｎ／（1/ａ1+1/ａ2+・・・+1/ａn）→１．７４５４０５６８・・・

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　有理数に対しては挙動が異なり，すべての部分商の和は，実際には

　　π^2／２４（ｌｎ２）^2｛Ｔn＋１／２−１８（ｌｎ２）^2／π^2｝＋６／π^2Σ（４ｒ／ｐ^r−（ｐ＋１）（ｐ^r−１）／ｐ^2r（ｐ−１）０（ｌｎｐ）^2

　　Ｔn＝（１２ｌｎ２）^2／π^2｛ｌｎ２−ΣΛ（ｓ）／ｄ＋ε｝

であるという．

ﾝ

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