■連分数展開の第n近似分数(その176)

  Tn=ln(n)+O(1)

であったが,より厳密な議論(ハイルブロン・ポーターの定理)により,除算ステップの平均回数は

  τn=(12log2/π^2)・logn+1.467

=0.842767・logn+1.467

〜1.9405・log10n

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 除算ステップの回数について,クヌース

  D. Knuth, Tha art of computer programming

を参照したところ,

  0.843・logn+1.47

でよく近似されるとある.

  1/ln2・∫(0,1)lnx/(1+x)dx

=−1/ln2・∫(0,∞)uexp(−u)/(1+exp(−u))du

=−1/ln2・Σ(−1)^k+1∫(0,∞)uexp(−ku)du

=−1/ln2・(1−1/4−1/9+1/16−1/25−・・・)

=−1/ln2・(1+1/4+1/9+1/16+・・・−2(1/4+1/16+1/36+・・・))

=−1/2ln2・(1+1/4+1/9+1/16+・・・)

=−π^2/(12ln2)

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  τn=(12log2/π^2)・logn+C+O(n^-1/6+ε)

  C=6ln2/π^2・{3ln2+4γ−24π^-2ζ’(2)−2}−1/2=1.4670780794

を証明したのは

  Porter JW: MathematiKa 22(1975),20/28

である.この公式の値と正確な値との比は,nが大きくなるにつれては1に近づく.

 γはオイラーの定数:0.577・・・

 ζ’(2)はゼータ関数の導関数の2における値

ひとつの公式にこれほどいろいろな数学定数がはいってくる問題は,そう簡単には見つからないだろう.

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 実は,

  Porter JW: MathematiKa 22(1975),20-28

より先に,ロックスは

  τn=(12log2/π^2)・logn+A+O(n^-1/2)

  A=0.065

を与えた(1961年).

 経験的定数0.065は

6ln2/π^2・{3ln2+4γ−24π^-2ζ’(2)−3}−1=0.0653514259

で,ロックスの結果は正しかったことになる.

 あいにく,彼の論文は何年も実質上知られないままであった.

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