Ｔn＝ｌｎ（ｎ）＋Ｏ（１）

であったが，より厳密な議論（ハイルブロン・ポーターの定理）により，除算ステップの平均回数は

　　τn＝（１２ｌｏｇ２／π^2）・ｌｏｇｎ＋１．４６７

＝０．８４２７６７・ｌｏｇｎ＋１．４６７

〜１．９４０５・ｌｏｇ10ｎ

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　除算ステップの回数について，クヌース

　　D. Knuth, Tha art of computer programming

を参照したところ，

　　０．８４３・ｌｏｇｎ＋１．４７

でよく近似されるとある．

　　１／ｌｎ２・∫(0,1)ｌｎｘ／（１＋ｘ）ｄｘ

＝−１／ｌｎ２・∫(0,∞)ｕｅｘｐ（−ｕ）／（１＋ｅｘｐ（−ｕ））ｄｕ

＝−１／ｌｎ２・Σ（−１）^k+1∫(0,∞)ｕｅｘｐ（−ｋｕ）ｄｕ

＝−１／ｌｎ２・（１−１／４−１／９＋１／１６−１／２５−・・・）

＝−１／ｌｎ２・（１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・−２（１／４＋１／１６＋１／３６＋・・・））

＝−１／２ｌｎ２・（１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・）

＝−π^2／（１２ｌｎ２）

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　　τn＝（１２ｌｏｇ２／π^2）・ｌｏｇｎ＋Ｃ＋Ｏ（ｎ^-1/6+ε）

　　Ｃ＝６ｌｎ２／π^2・｛３ｌｎ２＋４γ−２４π^-2ζ’（２）−２｝−１／２＝１．４６７０７８０７９４

を証明したのは

　　Porter JW: MathematiKa 22(1975),20/28

である．この公式の値と正確な値との比は，ｎが大きくなるにつれては１に近づく．

　γはオイラーの定数：０．５７７・・・

　ζ’（２）はゼータ関数の導関数の２における値

ひとつの公式にこれほどいろいろな数学定数がはいってくる問題は，そう簡単には見つからないだろう．

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　実は，

　　Porter JW: MathematiKa 22(1975),20-28

より先に，ロックスは

　　τn＝（１２ｌｏｇ２／π^2）・ｌｏｇｎ＋Ａ＋Ｏ（ｎ^-1/2）

　　Ａ＝０．０６５

を与えた（１９６１年）．

　経験的定数０．０６５は

６ｌｎ２／π^2・｛３ｌｎ２＋４γ−２４π^-2ζ’（２）−３｝−１＝０．０６５３５１４２５９

で，ロックスの結果は正しかったことになる．

　あいにく，彼の論文は何年も実質上知られないままであった．

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