ガウスはまた，連分数の部分商の確率密度関数は

　　Ｐ（ａn＝ｋ）＝Ｐ（ｋ＜εn＜ｋ＋１）＝Ｐ（εn＜ｋ＋１）−Ｐ（εn＜ｋ）

→ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋２））

であることを示しました．

　ａn＝１，２，３，・・・に対する確率は大部分の小数部で等しいのと対照的に，連分数では減少していきます．そして，十分大きなｎに対する部分商の起こる確率Ｐは

ｋ　　　　　　　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　９＋

Ｐ（ａn ＝ｋ）　 .41 .17　 .09　 .06　 .04 .03 .02 .02 .16

となることがわかります．

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　部分商がａになる確率は

　　ｌｏｇ2（１＋１／ａ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ａ＋１））

＝ｌｏｇ2（（ａ＋１）^2／（（ａ＋１）^2−１））

　商が１になる確率はｌｏｇ2（４／３）＝４１．５０４％

　商が２になる確率はｌｏｇ2（９／８）＝１６．９９３％

　商が３になる確率はｌｏｇ2（１６／１５）＝９．３１１％

　商が４になる確率はｌｏｇ2（２５／２４）＝５．８８９％

　商が１となる確率は４１％で，これはベンフォードの法則，最大桁が１になる頻度ｌｏｇ10２＝０．３０１０よりも高いことになる．

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