■連分数展開の第n近似分数(その172)

  [b0:b1,b2,b3,・・・,bn,・・・]

について,

  ak=1,bk

  q-1=0,q0=1,qk=akqk-2+bkqk-1=qk-2+bkqk-1

   (k=1,2,・・・)

q1=0+b1=b1

q2=1+b2b1=b1b2+1

q3=b1+b3(b1b2+1)=b1b2b3+b1+b3

  p-1=1,p0=0,pk=akpk-2+bkpk-1=pk-2+bkpk-1

   (k=1,2,・・・)

p1=1

p2=b1

p3=1+b3b1=b1b3+1

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Kn(b1,b2,・・・,bn)=1  (n=0)

Kn(b1,b2,・・・,bn)=b1  (n=1)

Kn(b1,b2,・・・,bn)=b1Kn-1(b2,b3,・・・,bn)+Kn-2(b3,・・・,bn)  (n>1)によって定義すると

K2(b1,b2)=b1b2+1

K3(b1,b2,b3)=b1b2b3+b1+b3

でKnの項数はフィボナッチ数Fn+1で与えられる.

 また,

  [b1,b2,b3,・・・,bn]

=Kn-1(b2,b3,・・・,bn)/Kn(b1,b2,・・・,bn)

  [b0:b1,b2,b3,・・・,bn,・・・]

=Kn+1(b0、b1,b2,b3,・・・,bn)/Kn(b1,b2,・・・,bn)

Kn(b1,b2,・・・,bn)=Kn(b2,・・・,bn+1)−Kn+1(b1,b2,b3,・・・,bn+1)Kn-1(b2,b3,・・・,bn)=(−1)^n

qk=Kk(b1,・・・,bk)とおくと,

[b1,b2,b3,・・・,bn]=1/q0q1−1/q1q2+1/q2q3/・・・+(−1)^n-1/qn-1qn

が得られる.

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