■連分数展開の第n近似分数(その166)

 レヴィの定数とは,実数xのn項までの連分数展開pn/qnとする.ほとんどすべての実数に対して,

  (qn)^1/n→exp(π^2/12log2)=3.27582292・・

  (qn)→exp(nπ^2/12log2)

 ところで,ユークリッドの互除法は,有限回の割り算で終了するが,n÷mにおいて,nを一定にしておいて,それより小さいすべてのmについて割り算の実行回数の平均を取ると,だいたい,

  (12log2/π^2)・logn+1.467

になるといわれている.また,1.467にはζ’(2)やγが関係しているという.

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[まとめ]

 レヴィの定数がユークリッドの互除法のアルゴリズムと関係していることは間違いないであろう.余談であるが,

Σ1/k2^k=log2

Σ1/k^22^k=π^2/12−1/2・(log2)^2

との類似性が気に掛かるところである.これらにもζ’(2)やγが関係しているのだろうか?

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