■連分数展開の第n近似分数(その165)

 (その163)(その164)を訂正.

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  qn=Σα^n-2k/(n−2k)!・(n−k)!/k!

 kは0から始まるので,

α^n-2k-2/(n−2k−2)!・(n−k−1)!/(k+1)!/

α^n-2k/(n−2k)!・(n−k)!/k!

=α^-2(n−2k)(n−2k+1)/(n−k)(k+1)

=−4(k−n/2)(k−(n+1)/2)/(k−n)・α^-2/(k+1)

F(−n/2,−(n+1)/2:−n:−(2/α)^2)

また,初項はα^nであるから,級数は超幾何級数

α^nF(−n/2,−(n+1)/2:−n:−(2/α)^2)

であると同定される.また,上部パラメータの片方は負の整数であるから級数は有限になる.

 調べてみたところ,

F(−n/2,−(n+1)/2:−n:x)

=(2/(1+(1−x)^1/2))^-n-1

=((1+(1−x)^1/2)/2)^n+1

 以上より

gn=α^n((1+(1+(2/α)^2)^1/2)/2)^n+1

となる.

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 これが正しければ

  α(1+(1+(2/α)^2)^1/2/2)〜exp(π^2/12log2)=3.27582292・・・

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 α=2.685(ヒンチンの定数)として,左辺の値を求めてみると,

  3.01651

 ほぼレヴィの定数と一致.満足すべき結果が得られたことになる.

  α=2.975→3.275

となるが,ヒンチンの定数を用いずにレヴィの定数を計算することは可能なのだろうか?

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