■連分数展開の第n近似分数(その161)

 (その158)を再考.

(b1b2・・・bn)^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001・・・=α

  b1b2・・・bn→α^n

  b1b2・・・bn-2→α^n-2

  1→α^n-2

 したがって,

q8=8次の項1+6次の項7+4次の項15+2次の項10+0次の項1

1+整数+三角数+四面体数+5胞体数+・・・

整数:n

三角数:n(n+1)/2

四面体数:n(n+1)(n+2)/6

5胞体数:n(n+1)(n+2)(n+3)/24

としたほうがよい.

パラメータを調整すると

整数:n-1=(n-1,1)

三角数:(n-2)(n-3)/2=(n-2,2)

四面体数:(n-3)(n-4)(n-5)/6=(n-3,3)

5胞体数:(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)/24=(n-4,4)

これは

q7=7次の項1+5次の項6+3次の項10+1次の項4

の場合も満たしている.

 したがって,qnは

α^n+α^n-2(n-1,1)+α^n-4(n-2,2)+α^n-6(n-3,3)+α^n-8(n-4,4)+・・・

α^n+α^n-2(n-1)!/(n-2)!+α^n-4(n-2)!/(n-4)!2!+α^n-6(n-3)!/(n-6)!3!+α^n-8(n-4)!/(n-8)!4!+・・・

=Σα^n-2k/(n-2k)!・(n-k)!/k!

となるが,これ以上まとめることはできるのだろうか?

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