■連分数展開の第n近似分数(その161)

 (その158)を再考.

(b1b2・・・bn)^1/n→Π(1+1/k(k+2))^logk/log2=2.685452001・・・=α

  b1b2・・・bn→α^n

  b1b2・・・bn-2→α^n-2

  1→α^n-2

 したがって,

q8=8次の項1+6次の項7+4次の項15+2次の項10+0次の項1

1+整数+三角数+四面体数+5胞体数+・・・

整数:n

三角数:n(n+1)/2

四面体数:n(n+1)(n+2)/6

5胞体数:n(n+1)(n+2)(n+3)/24

としたほうがよい.

パラメータを調整すると

整数:n−1=(n−1,1)

三角数:(n−2)(n−3)/2=(n−2,2)

四面体数:(n−3)(n−4)(n−5)/6=(n−3,3)

5胞体数:(n−4)(n−5)(n−6)(n−7)/24=(n−4,4)

これは

q7=7次の項1+5次の項6+3次の項10+1次の項4

の場合も満たしている.

 したがって,qnは

α^n+α^n-2(n−1,1)+α^n-4(n−2,2)+α^n-6(n−3,3)+α^n-8(n−4,4)+・・・

α^n+α^n-2(n−1)!/(n−2)!+α^n-4(n−2)!/(n−4)!2!+α^n-6(n−3)!/(n−6)!3!+α^n-8(n−4)!/(n−8)!4!+・・・

=Σα^n-2k/(n−2k)!・(n−k)!/k!

となるが,これ以上まとめることはできるのだろうか?

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