■連分数展開の第n近似分数(その157)

 標準連分数でない方がいいかもしれないので,(その18)を書き直し.

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  π/4=1/{1+1^2/{2+3^2/{2+5^2/{2+7^2/{2+9^2/{2+・・・}

  ak=(2k−1)^2,bk=2

  p-1=1,p0=0,pk=akpk-2+bkpk-1=(2k−1)^2pk-2+2pk-1

  q-1=0,q0=1,qk=akqk-2+bkqk-1=(2k−1)^2qk-2+2qk-1

   (k=1,2,・・・)

p-1=1,p0=0,p1=1,p2=2,p3=29,p4=156,p5=2661,・・・

q-1=0,q0=1,q1=2,q2=13,q3=76,q4=789,q5=7734,・・・

 ここで,Pk=pk+qk,Qk=qkとおくと,

Pk=(2k−1)^2Pk-2+2Pk-1

Qk=(2k−1)^2Qk-2+2Qk-1

P-1=1,P0=1,P1=3,P2=15,P3=105,P4=945,P5=10395,・・・

Q-1=−1,Q0=1,Q1=2,Q2=13,Q3=76,Q4=789,Q5=7734,・・・

n=k−1,k=n+1とおくと,

Pn+1=(2n+1)^2Pn-1+2Pn

Qn+1=(2n+1)^2Qn-1+2Qn

P0=1,P1=1,P2=3,P3=15,P4=105,P5=945,P6=10395,・・・

Q0=−1,Q1=1,Q2=2,Q3=13,Q4=76,Q5=789,Q6=7734,・・・

 4Qn/Pn→ π

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