【４】おまけ

［Ｑ］大長方形から正方形をａ個切り取った後に残る中長方形から，正方形をｂ個切り取った後に残る小長方形が中長方形と相似になるのは？

［Ａ］単純循環連分数

　　Ｌ＝［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］

で表される数Ｌを求めてみることにしましょう．

　　Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝１／（ｂ＋Ｒ）

　　Ｒ^2＋ｂＲ−１＝０　→　Ｒ＝（−ｂ＋（ｂ^2＋４）^(1/2)）／２

　　Ｌ＝ａ＋Ｒ＝ａ−ｂ／２＋（ｂ^2／４＋１）^(1/2)

　　ａ＝１，ｂ＝１　→　Ｌ＝（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　ａ＝１，ｂ＝２　→　Ｌ＝√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

　　ａ＝２，ｂ＝４　→　Ｌ＝√５＝［２；４，４，４，・・・］

［Ｑ］大長方形から正方形をａ個切り取った後に残る中長方形から，正方形をｂ個切り取り，さらに正方形をｃ個切り取った後に残る小長方形が中長方形と相似になるのは？

［Ａ］同様に，２項が循環する連分数は

　　Ｌ＝［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］

　　Ｌ−ａ＝Ｒ＝［０：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝１／（ｂ＋１／（ｃ＋Ｒ））

　　ｂＲ^2＋ｂｃＲ−ｃ＝０　→　Ｒ＝（−ｃ＋（ｃ^2＋４ｃ／ｂ）^(1/2)）／２

　　Ｌ＝ａ−ｃ／２＋（ｃ^2／４＋ｃ／ｂ）^(1/2)

　　ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝２　→　Ｌ＝√３＝［１；１，２，１，２，１，２，・・・］

　　ａ＝２，ｂ＝２，ｃ＝４　→　Ｌ＝√６＝［２；２，４，２，４，２，・・・］

　実数ｘの整数部分，小数部分を

　　ｘ＝［ｘ］＋｛ｘ｝

で表します．同様に，連分数表示を整数部分と小数部分に分けます．

　　［ａ：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝ａ＋［０：ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・］＝ａ＋＜ｂ，ｂ，ｂ，ｂ，・・・＞

　　［ａ：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝ａ＋［０：ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・］＝ａ＋＜ｂ，ｃ，ｂ，ｃ，・・・＞

　たとえば，小数部分＜ｂ，ｂ，ｂ，・・・＞となる数をｘとおくと，

　　ｘ＝１／（ｂ＋ｘ）　→　ｘ＝（√（ｎ^2＋４）−ｎ）／２

このように循環連分数は整数係数の２次方程式の解となります（ラグランジュの定理）．

　　（√５−１）／２＝［０：１，１，１，，１，・・・］

　　√２−１＝［０：２，２，２，２，・・・］

　　（√１３−３）／２＝［０：３，３，３，３，・・・］

　＜１，１，１，・・・＞＝ｘはｘ＝１／（１＋ｘ）の正の解（√５−１）／２に収束します．この近似分数は，フィボナッチ数列

　　ａ0＝０，ａ1＝１，ａn+2＝ａn＋ａn+1

　　１，２，３，５，８，１３，・・・

の相隣る２項の比となります．

　また，＜２，２，２，・・・＞＝ｘはｘ＝１／（２＋ｘ）の正の解√２−１に収束します．この近似分数は，数列

　　ａ0＝１，ａ1＝１，ａn+2＝ａn＋２ａn+1

　　１，２，６，１２，２９，７０，・・・

の相隣る２項の比となります．この数列は√２−１の最良近似数列です．

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