■連分数展開の第n近似分数(その133)

 有理数は有限連分数,無理数で代数的数の場合は無限循環連分数,超越数は無限非循環連分数になります.たとえば,超越数eの連分数展開は,

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,14,1,1,16,・・・]

と書け,数字の出方が自然数順になっていることがわかります.

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,・・・,1,2n,1,・・・]   (オイラーの公式)

すなわち,2次の無理数のように規則的になっているわけですが,eのように超幾何関数の特殊値は3次の無理数よりも,2次の無理数に近いということなのでしょうか?

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【1】ランベルトの公式

  e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,・・・,1,2n,1,・・・]   (オイラーの公式)

に対して,ランベルトの公式とは

  {exp(2/m)+1}/{exp(2/m)−1}

 =[m,3m,・・・,(2n+1)m,・・・]

とくに,m=2とおけば

  (e+1)/(e−1)=[2,6,・・・,2(2n+1),・・・]

 なお,

  2/(√e−1)=[1,6,・・・,2(2n+1),・・・]

なども知られている.

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【2】級数の変換

  log2=Σ(−1)^m/(m+1)=Σ1/2^(n+1)(n+1)

  log2=1+Σ(−1)^n/n(2n−1)(2n+1)

  Σ(−1)^m/(2m+1)=Σ2^(n-1)/(2n+1)(2n,n)

  Σ(−1)^n/2^n=1/2Σ1/4^n

  Σ(−1)^n/3^n=1/2Σ1/3^n

  Σ(−1)^n/4^n=1/2Σ(3/8)^n

  π^2/6=Σ1/n^2=1+Σ1/n^2(n+1)

  π^2/6=Σ1/n^2=5/4+Σ1/n^2(n+1)(n+2)

  π^2/6=Σ1/n^2=3Σ(n−1)!^2/(2n)!

などは級数の変換の例である.元の級数よりよく収束することがあるが,必ずしもそうとは限らない.

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