√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

より，最も素朴な循環連分数は周期１の連分数

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されるものと考えられます．

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　このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√１０＝［３；６，６，６，・・・］

　　√１０１＝［１０；２０，２０，２０，・・・］

　しかし，他の整数の平方根はかなり長い周期を持つが，長周期を予言する公式はないようである．

　　√６１＝［７；１，４，３，１，２，２，１，３，４，１，１４，・・・，・・・］

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