［１］基本単数
まず最初に，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数について説明することから始めたいと思います．Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ－ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は
ω＝√ｍ ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）
ω＝（１＋√ｍ）／２ ｍ＝１（ｍｏｄ４）
で与えられます．
そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は
｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）
によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，
Ｃ＝｛±ε^n｝
と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．
実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，
［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝ａ＋ｂ√ｍ
とすると
ε~＝ａ－ｂ√ｍ
εが単数←→εε~＝ａ^2－ｍｂ^2＝±１
また，
ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ
と書くと
ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）
＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ
これより
ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ
ｂn+1＝ａｂn＋ｂａn
このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，より，ａ，ｂはペル方程式：
ａ^2－ｍｂ^2＝±１
の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．
Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2－２ｙ^2＝±１，複号は－１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２
ｘ^2－３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３
ｘ^2－６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６
ｘ^2－７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７
［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２ ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）
と書けば
ａ^2－ｍｂ^2＝±４
となること以外は前と同様です．
Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2－５ｙ^2＝±４，複号は－４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２
ｘ^2－１３ｙ^2＝±４，複号は－４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２
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Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
とおいて
ｎ＝１：１^2－２・１^2＝－１
ｎ＝２：３^2－２・２^2＝＋１
ｎ＝３：７^2－２・５^2＝－１
ｎ＝４：１７^2－２・１２^2＝＋１
ｎ＝５：４１^2－２・２９^2＝－１
ｎ＝６：９９^2－２・７０^2＝＋１
ｎ＝７：２３９^2－２・１６９^2＝－１
ｎ＝８：５７７^2－２・４０８^2＝＋１
ｎ＝９：１３９３^2－２・９８５^2＝－１
ｎ＝10：３３６３^2－２・２３７８^2＝＋１
一般に，
ａn^2－２ｂn^2＝（－１）^n
となります．
Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，
ｎ＝１：２^2－３・１^2＝＋１
ｎ＝２：７^2－３・４^2＝＋１
ｎ＝３：２６^2－３・１５^2＝＋１
ｎ＝４：９７^2－３・５６^2＝＋１
ｎ＝５：３６２^2－３・２０９^2＝＋１
ｎ＝６：１３５１^2－３・７８０^2＝＋１
ｎ＝７：５０４２^2－３・２９１１^2＝＋１
ｎ＝８：１８８１７^2－３・１０８６４^2＝＋１
ｎ＝９：７０２２６^2－３・４０５４５^2＝＋１
ｎ＝10：２６２０８７^2－３・１５１３１６^2＝＋１
一般に，ａn^2－２ｂn^2＝１でａn^2－２ｂn^2＝－１となる解は存在しません．
この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが－１のときには
ｘ^2－ｍｙ^2＝＋１
と
ｘ^2－ｍｙ^2＝－１
はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．
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以下，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数εを掲げますが
ｍ ペル方程式の最小解 ε ノルム
２ １^2－２・１^2＝－１ １＋√２ －１
３ ２^2－３・１^2＝＋１ ２＋√３ ＋１
５ １^2－５・１^2＝－４ （１＋√５）／２ －１
６ ５^2－６・２^2＝＋１ ５＋２√６ ＋１
７ ８^2－７・３^2＝＋１ ８＋３√７ ＋１
10 ３^2－１０・１^2＝－１ ３＋√１０ －１
11 １０^2－１１・３^2＝＋１ １０＋３√１１ ＋１
13 ３^2－１３・１^2＝－４ （３＋√１３）／２ －１
14 １５^2－１５・４^2＝＋１ １５＋４√１４ ＋１
15 ４^2－１５・１^2＝＋１ ４＋√１５ ＋１
17 ８^2－１７・２^2＝－４ ４＋√１７ －１
19 １７０^2－１９・３９^2＝＋１ １７０＋３９√１９ ＋１
21 ５^2－２１・１^2＝＋４ （５＋√１７）／２ ＋１
22 １９７^2－２２・４２^2＝＋１ １９７＋４２√２２ ＋１
23 ２４^2－２３・５^2＝＋１ ２４＋５√２３ ＋１
26 ５^2－２６・１^2＝－１ ５＋√２６ －１
29 ５^2－２９・１^2＝－４ （５＋√２９）／２ －１
30 １１^2－３０・２^2＝＋１ １１＋２√３０ ＋１
31 １５２０^2－３１・２７３^2＝＋１ １５２０＋２７３√３１ ＋１
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