【２】連分数

　ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝±１（あるいは±４）

で表されるものです．

　平方根を無限連分数に表す手順はわかりやすく，たとえば，１＜√２＜２であるから

　　√２＝１＋（√２−１）

　　　　＝１＋１／（√２＋１）　　　　２＜√２＋１＜３

　　　　＝１＋１／｛２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋（√２−１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／（２＋１／（√２＋１）｝

　　　　＝１＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋１／｛２＋・・・

の手順を何度も繰り返すことにより，

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

ができあがります．

　ｍが小さいときは比較的簡単に求まりましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，

　　ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１

の最小解は

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

にもなってしまいます．

　この解を求めるには√１９９の連分数展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．

　標準連分数の場合に書き換えますと，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn

　　Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2

　　Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2　　　(n=2,3,･･･)

で

　　ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n　　　(n=1,2,･･･)

　　ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn　　　(n=2,3,･･･)

が成り立ちます．

　また，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］

の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して

　　αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］

なる実数αnを定めると

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］

　　　＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）

が証明されます．

　これに循環連分数になるという性質が加わって，ペル方程式の解が得られるのですが，

　　√ｍ＝［ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn，２ｑ1］　　　（周期ｎ）

　　αn+1＝［２ｑ1，ｑ2，・・・］＝√ｍ＋ｑ1

より

　　√ｍ＝（（√ｍ＋ｑ1）Ｐn＋Ｐn-1）／（（√ｍ＋ｑ1）Ｑn＋Ｑn-1）

　ここで，

　　ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n　　　(n=1,2,･･･)

より，

　　Ｐn^2−ｍＱn^2＝（−１）^n

となり，ペル方程式の解（Ｐn，Ｑn）が得られます．

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