■連分数展開の第n近似分数(その42)

 x^2−dy^2=1  (ペル方程式)はdが平方数でないとき,無限に多くの整数解をもつ.

 x^2−dy^4=1はdが平方数でないとき,高々2個の整数解しか存在しない.

 x^2−dy^4=−1はdに関するある条件の下で,高々2個の整数解しか存在しない.

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[1]y^3=x^2+12を満たす整数解は存在しない.

[2]y^3=x^2+3を満たす整数解は存在しない.

[3]y^3=x^2+5を満たす整数解は存在しない.

[4]y^3=x^2+17を満たす整数解は存在しない.

 一般に,

[5]y^3=x^2+k,,k=(2b)^2−(2a)^3,a,bはとも奇数で,a=3 (mod4),b≠0 (mod4),a,bの最大公約数の素因子=1 (mod4)のとき,y^3=x^2+kを満たす整数解は存在しない.

[6]y^3=x^2+k,,k=b^2−a^3≠7 (mod4),aは奇数,bが偶数でb≠0 (mod3),a,bの任意の公約数=1 (mod4)のとき,y^3=x^2+kを満たす整数解は存在しない.

[7]y^3=x^2+k,,k=b^2−a^3≠7 (mod4),a=2 (mod4),bが偶数でb≠0 (mod3),a,bの任意の公約数=1 (mod4)のとき,y^3=x^2+kを満たす整数解は存在しない.

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[8]y^3=x^2+2を満たす整数解は(±5,3)だけである.

 有理数解の範囲で考えると

[9]k≠−1,432のとき,y^3=x^2+2を満たす有理数解はまったくないか,あるいは,無限に多くあるかのどちらかである.

[10]k=−1のとき,(±1,0),(0,1),(±3,2)

[11]k=432のとき,(±36,12)ふぁ有理数解のすべてである.

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