ｘ^2−ｄｙ^2＝１　　（ペル方程式）はｄが平方数でないとき，無限に多くの整数解をもつ．

　ｘ^2−ｄｙ^4＝１はｄが平方数でないとき，高々２個の整数解しか存在しない．

　ｘ^2−ｄｙ^4＝−１はｄに関するある条件の下で，高々２個の整数解しか存在しない．

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［１］ｙ^3＝ｘ^2＋１２を満たす整数解は存在しない．

［２］ｙ^3＝ｘ^2＋３を満たす整数解は存在しない．

［３］ｙ^3＝ｘ^2＋５を満たす整数解は存在しない．

［４］ｙ^3＝ｘ^2＋１７を満たす整数解は存在しない．

　一般に，

［５］ｙ^3＝ｘ^2＋ｋ，，ｋ＝（２ｂ）^2−（２ａ）^3，ａ，ｂはとも奇数で，ａ＝３　（ｍｏｄ４），ｂ≠０　（ｍｏｄ４），ａ，ｂの最大公約数の素因子＝１　（ｍｏｄ４）のとき，ｙ^3＝ｘ^2＋ｋを満たす整数解は存在しない．

［６］ｙ^3＝ｘ^2＋ｋ，，ｋ＝ｂ^2−ａ^3≠７　（ｍｏｄ４），ａは奇数，ｂが偶数でｂ≠０　（ｍｏｄ３），ａ，ｂの任意の公約数＝１　（ｍｏｄ４）のとき，ｙ^3＝ｘ^2＋ｋを満たす整数解は存在しない．

［７］ｙ^3＝ｘ^2＋ｋ，，ｋ＝ｂ^2−ａ^3≠７　（ｍｏｄ４），ａ＝２　（ｍｏｄ４），ｂが偶数でｂ≠０　（ｍｏｄ３），ａ，ｂの任意の公約数＝１　（ｍｏｄ４）のとき，ｙ^3＝ｘ^2＋ｋを満たす整数解は存在しない．

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［８］ｙ^3＝ｘ^2＋２を満たす整数解は（±５，３）だけである．

　有理数解の範囲で考えると

［９］ｋ≠−１，４３２のとき，ｙ^3＝ｘ^2＋２を満たす有理数解はまったくないか，あるいは，無限に多くあるかのどちらかである．

［１０］ｋ＝−１のとき，（±１，０），（０，１），（±３，２）

［１１］ｋ＝４３２のとき，（±３６，１２）ふぁ有理数解のすべてである．

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