ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2の整数解は

　　ｘ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｙ＝２ｋｍｎ，ｚ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

であることはよく知られている．

　ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2の整数解は

　　ｘ＝４ｍｎ（ｍ^2−ｎ^2），ｙ＝±（ｍ^4−６ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4）

　　ｚ＝ｍ^2＋ｎ^2

で与えられる．（ｍ，ｎ）＝１，ｍ＞ｎ，一方は偶数，他方は奇数

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［１］ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^2を満たす自然数解は存在しない．

→ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4を満たす整数解は存在しない．

［２］ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2を満たす自然数解は存在しない．

奇数ｎ＝ａ^2＋３ｂ^2，（ａ，ｂ）＝１の素因数はすべて６ｋ＋１型である．

素数ｐ＝１　（ｍｏｄ６）はｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2の形に表される．

ｓ^3＝ａ^2＋３ｂ^2，，（ａ，ｂ）＝１，ｓは奇数，の解は

ｓ＝α^2＋３β^2，ａ＝α（α^2−９β^2），ｂ＝３β（α^2−β^2）

α，βの一方は偶数，他方は奇数．（α，３β）＝１で与えられることから

［３］ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3を満たす整数解は存在しない．

［４］１以外の三角数は４乗数にならない．

＝ｎ（ｎ＋１）／２＝ｍ^4

＝２ｙ^2＝ｘ^4＋１を満たす自然数解は存在しない．

［５］２ｙ^2＝ｘ^4−１を満たす自然数解は存在しない．

［６］２ｙ^4＝ｘ^2−１を満たす自然数解は存在しない．

［７］２ｙ^4＝ｘ^2＋１を満たす自然数解は（１，１），（２３９，１３）の２つだけである．

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