■連分数展開の第n近似分数(その41)

 x^2+y^2=z^2の整数解は

  x=k(m^2−n^2),y=2kmn,z=k(m^2+n^2)

であることはよく知られている.

 x^4+y^4=z^2の整数解は

  x=4mn(m^2−n^2),y=±(m^4−6m^2n^2+n^4)

  z=m^2+n^2

で与えられる.(m,n)=1,m>n,一方は偶数,他方は奇数

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[1]x^4+y^4=z^2を満たす自然数解は存在しない.

→x^4+y^4=z^4を満たす整数解は存在しない.

[2]x^4−y^4=z^2を満たす自然数解は存在しない.

奇数n=a^2+3b^2,(a,b)=1の素因数はすべて6k+1型である.

素数p=1 (mod6)はp=x^2+3y^2の形に表される.

s^3=a^2+3b^2,,(a,b)=1,sは奇数,の解は

s=α^2+3β^2,a=α(α^2−9β^2),b=3β(α^2−β^2)

α,βの一方は偶数,他方は奇数.(α,3β)=1で与えられることから

[3]x^3+y^3=z^3を満たす整数解は存在しない.

[4]1以外の三角数は4乗数にならない.

=n(n+1)/2=m^4

=2y^2=x^4+1を満たす自然数解は存在しない.

[5]2y^2=x^4−1を満たす自然数解は存在しない.

[6]2y^4=x^2−1を満たす自然数解は存在しない.

[7]2y^4=x^2+1を満たす自然数解は(1,1),(239,13)の2つだけである.

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