■連分数展開の第n近似分数(その28)

 a1=1,b1=1

 a2=a1+b1,b2=a1+a2

 a3=a2+b2,b3=a2+a3

 a4=a3+b3,b4=a3+a4

 a5=a4+b4,b5=a4+a5

 a6=a5+b5,b6=a5+a6

・・・・・・・・・・・・・・・・を繰り返す.

[Q]このとき,bn/an→?

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[A]

 a1=1,b1=1,b1/a1=1

 a2=2,b2=3,b2/a2=1.5

 a3=5,b3=7,b3/a3=1.4

 a4=12,b4=17,b4/a4=1.416666

 a5=29,b5=41,b5/a5=1.4137931

 a6=70,b6=99,b6/a6=1.4142857

 bn/an→√2

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 a1=1,b1=1

 a2=a1+b1,b2=a1+a2

 a3=a2+b2,b3=a2+a3

 a4=a3+b3,b4=a3+a4

 a5=a4+b4,b5=a4+a5

 a6=a5+b5,b6=a5+a6

・・・・・・・・・・・・・・・・を繰り返す.

 a1=1,b1=1

 a2=a1+b1,b2=2a1+b1

 a3=a2+b2,b3=2a2+b2

 a4=a3+b3,b4=2a3+b3

 a5=a4+b4,b5=2a4+b4

 a6=a5+b5,b6=2a5+b5

と書いても同じことである.

 2ak^2−bk^2=±1

になる.

 2・5^2−7^2=1

 2・12^2−17^2=−1

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