■連分数展開の第n近似分数(その22)

[ディリクレの定理]任意の無理数αに対して

  |α−p/q|<1/2q^2

を満たす既約分数p/qは無数に存在する.

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[フルヴィッツの定理]任意の無理数αに対して

  |α−p/q|<1/√5q^2

を満たす既約分数p/qは無数に存在する.√5は最良値であって,これより大きい値では置き換えられない.

[1]フルヴィッツの定理の証明は(その1)(その2)のファレイ数列を用いてなされる.

[2]フルヴィッツの定理は任意の無理数αに対する主張であるが,たとえば,α=(√5−1)/2に対しては√8が最良値であって,これより大きい値では置き換えられないことが示されている.フルヴィッツ自身による証明は法は連分数を用いるものである.

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