ファレイ数列では相隣り合う２項［ｍ1／ｎ1，ｍ2／ｎ2］の分母と分子からなる行列式の値ｍ1ｎ2−ｍ2ｎ1は±１である．すなわち，交差積ｍ1ｎ2とｍ2ｎ1は連続する整数になる．

（証）［０／１，１／１］に対して，０・１−１・１＝−１．ａｄ−ｂｃ＝−が成り立っているような［ａ／ｂ，ｃ／ｄ］の間に，（ａ＋ｃ）／（ｂ＋ｄ）を挿入すれば

　　ａ（ｂ＋ｄ）−ｂ（ａ＋ｃ）＝（ａ＋ｃ）ｄ−（ｂ＋ｄ）ｃ＝−１

　さらにｌ＜ｎでかつａ／ｂ＜ｋ／ｌ＜ｃ／ｄとなるようなｋ／ｌは存在しない．もし存在したとすれば

　　ｋ／ｌ−ａ／ｂ≧１／ｌｂ，ｃ／ｄ−ｋ／ｌ≧１／ｌｄ

　　ｃ／ｄ−ａ／ｂ≧（ｂ＋ｄ）／ｌｂｄ＞１／ｂｄ

となって矛盾を生ずる．

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