ｎ≧１とする．分母が正でかつｎを越えないようなすべての既約分数を増大する順に並べたものを，位数ｎのファレイ数列と呼ぶ．

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【１】ファレイ数列の生成

　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが，まず［０／１，１／１］からはじめ，（０＋１）／（１＋１）＝１／２をはじめの２つの分数の間に挿入する．→［０／１，１／１］

漸次，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる．「ただし，第ｎ列の分母はすべてｎを超えないものとする．」

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１］（４位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１］（６位のファレイ数列）

→［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］（７位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

　ｎ位のファレイ数列はａ／ｂ　（０＜ａ＜ｂ≦ｎ）なる既約分数のすべてを大きさの順に並べたものになっている．

　位数ｎのファレイ数列の長さをＡ（ｎ），分数の総和をＳ（ｎ）とすると，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　Ａ（ｎ）＝２Ｓ（ｎ）

　＝１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

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