■連分数展開の第n近似分数(その6)

 連分数展開によって,黄金比と白銀比は

  (1+√5)/2=[1;1,1,1,1,1,・・・]

  √2=[1;2,2,2,2,2,・・・]

のように,1や2が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます.今回のコラムでは黄金比(1+√5)/2と白銀比√2に関する雑多な問題を取り上げることにしたいと思います.

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【1】白銀比のディオファントス近似

 無理数を有理数で近似するには,連分数展開の近似分数を用いるべきであるということはよく知られています.ここでは,連分数展開と本質的には同等の√2に収束する数列を考えることにします.まず

  (1+√2)^n=an+bn√2

  (1−√2)^n=an−bn√2

を満足させるような整数列{an},{bn}を考えます.これらの数列は

  an^2−2bn^2=(−1)^n

となる関係式で結ばれていて,

  an/bn→ √2

ですから,√2に最も近い分数を与えることがわかります(最良近似).

  an+1+bn+1√2=(1+√2)^n(an+bn√2)

          =(an+2bn)+(an+bn)√2

より

  an+1=an+2bn,bn+1=an+bn

  an+1=an+2bn=an+2(an-1+bn-1)

 =an+an-1+(an-1+2bn-1)=2an+an-1

  bn+1=an+bn=(an-1+2bn-1)+bn

 =(an-1+bn-1)+bn+bn-1)=2bn+bn-1

より

  an+1=2an+an-1,bn+1=2bn+bn-1

 α,βを2次方程式x^2−2x−1=0の根1±√2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=1+√2,β=1−√2,初期値をa1=1,a2=3とすると

  an=1/2{(1+√2)^n+(1−√2)^n}

 整数列{bn}でも同じ漸化式ですから,同じ一般項になります.

  bn={α^(n-1)(b2−βb1)−β^(n-1)(b2−αb1)}/(α−β)

初期値をb1=1,b2=2とすると

  bn=1/2√2{(1+√2)^n−(1−√2)^n}

 ここで,n→∞のとき(1−√2)^n→0ですから

  an/bn→ √2

となるのを確かめることができます.

 このとき,an,bnの値は

n  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

an 1  3 7 17 41 99 239 577 1393 1363

bn 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378

であり,その近似分数は1/1,3/2,7/4,17/12,41/29,・・・というわけですが,たとえば,すべての有理数

  p/q  (p≦41,q≦29)

の中で41/29=1.41379・・・が√2の最もよい近似値であるのです.

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