ｆ（ｎ）＝（ｎ−１）（ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２））

これは，モンモール数ｆ（ｎ）がｎ−１で割り切れることを意味すると同時に，フィボナッチ数よりも急減に増加することを意味する．

　参考までに記しますが，

　　p(n)≦p(n-1)+p(n-2)

が成り立つことより，分割数ｐ（ｎ）の増大速度はフィボナッチ数で上から抑えられることが示されます．したがって，黄金比φ＝（√５＋１）／２とおくと上界は

　　p(n)＜φ^n．

すなわち，モンモール数＞フィボナッチ数＞分割数

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　　ｐn＝ｆ（ｎ）／ｎ！

より，

　　ｐn＝ｐn-1−（ｐn-1−ｐn-1）／ｎ

　　ｐn−ｐn-1＝−（ｐn-1−ｐn-1）／ｎ

　また，

　　ｎ！＝Σ（ｎ，ｒ）ｆ（ｒ）

　　ｆ（ｎ）＝Σ（−１）^(n-r)（ｎ，ｒ）ｒ！

は二項変換の逆変換・反転表示の特別な形である．

　　ｆ（ｎ）＝［ｎ！／ｅ＋ｍ］，１／３≦ｍ≦１／２

　　ｐn＝１／ｎ！［ｎ！／ｅ＋ｍ］，１／３≦ｍ≦１／２

と表すことができる．

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