■3次元の回転(その24)

 四元数ではx^2−1=0の解は2個,x^2+1=0の解は無限個存在する.

  x=x0+x1i+x2j+x3k,x0=0,x1^2+x2^2+x3^2=0

[1]x^3−1=0の解は無限個

  x=1

  x=−1/2++x1i+x2j+x3k,x1^2+x2^2+x3^2=3/4

[2]x^3+1=0の解も無限個

  x=−1

  x=1/2++x1i+x2j+x3k,x1^2+x2^2+x3^2=3/4

存在する.

 これらは四元数体の範囲で考えているが,四元整数(フルビッツの整数環)の範囲で考える.

 フルビッツの整数環とは

  q=x+yi+zj+wk,x,y,z,wは整数と半整数

からなり,たとえば,

  ω=(1+i+j+k)/2

は,

  ω^2=(−1+i+j+k)/2

  ω^3=−1

  ω^4=−(1+i+j+k)/2

  ω^5=(1−i−j−k)/2

  ω^6=1

より1の原始6乗根であり,ωは四元整数の範囲で考えている.

===================================

[1]q=±1,q=±i,q=±j,q=±k,

  q=(±1±i±j±k)/2

の24個が1の約数である単数(単位四元数)である.この単数全体は原点を中心とする正24胞体をなす.

[2]単数について,

  q^n=q・q^(n-1)=1

となるqのリストを作ると,

1)n=2のとき

  q=±1の2個,q=−1は1の原始2乗根

2)n=3のとき

  q=1,q=(−1±i±j±k)/2の9個,q=(−1±i±j±k)/2は1の原始3乗根

3)n=4のとき

  q=±1,q=±i,q=±j,q=±kの8個,q=±i,q=±j,q=±kは1の原始4乗根

4)n=5のとき

  q=1の1個

5)n=6のとき

  q=±1,q=(±1±i±j±k)/2の18個,q=(1±i±j±k)/2は1の原始6乗根

6)n=7のとき

  q=1の1個

7)n=8のとき

  q=±1,q=±i,q=±j,q=±kの8個

8)n=9のとき

  q=1,q=(−1±i±j±k)/2の9個

9)n=10のとき

  q=±1の2個

===================================