複素数球面に作用する１次分数変換の性質を用いて、ケーリーの公式を導き、以下の式を与える

複素数平面CとそのコピーC'から{0}除いた集合上の点ｚとz'を

z'＝-1/z

という関係でもって同一視する。こうして作られた集合を複素数球面（リーマン球面）とよぶ=ＣＵ｛∞｝

x'=-x/(x^2+y^2)

y'=y/(x^2+y^2)

x=-x'/(x'^2+y'^2)

y=y'/(x'^2+y'^2)

一次分数変換

w=φ(z)=(αz+β)/(γz+δ)

は複素数球面（リーマン球面）上の円を円に写す等角写像である。（これはｚ平面上の円か直線を意味するものとする）

極射影ではP(v1,v2,v3),z=x+yiとおくと

x=v1/(1+v3), y=v2/(1+v3)

z=v1/(1+v3)+iv2/(1+v3)

x^2+y^2=(v1^2+v2^2)/(1+v3)^2=(1-v3^2)/(1+v3)^2=(1-v3)/(1+v3)

v1=2x/(1+x^2+y^2)

v2=2y/(1+x^2+y^2)

v3=(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)

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【１】ケーリーの公式

k=(l,m,n),l^2+m^2+n^2=1を軸とする角θの回転は1次分数変換

φ(z)={(cosθ/2+insinθ/2)z+(msinθ/2-ilsinθ/2)}/{(-msinθ/2-ilsinθ/2)z+(cosθ/2-insinθ/2)}

と書かれる

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a=cosθ/2,b=nsinθ/2

c=-msinθ/2,d=-lsinθ/2とおくと、a^2+b^2+c^2+d^2=1となり、

ケーリーの公式は

φ(z)={(a+bi)z+(-c+di)}/{(c+di)z+(a-bi)}

と書かれる。

U=[(a+bi),(-c+di)]

[(-c+di),(a-bi)]

det(U)=a^2+b^2+c^2+d^2=1

は２次特殊ユニタリー行列と呼ばれる。

U=[0,1]

[-1,0]

も２次特殊ユニタリー行列である

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【３】単位四元数と３次元の回転

　ｘ，ｙ，ｚ軸の周りの回転では使いにくい．そこで，単位ベクトル

　　ｎ＝（α,β,γ）

を回転軸とし，その周りに正の回転方向にθだけ回転する回転行列はα，β，γは方向余弦で，α^2+β^2+γ^2＝１を満たすものとして

　　R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ

　　R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ

　　R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ

　　R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ

　　R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ

　　R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ

で表される．

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これが先にあって、後知恵で直交行列Kを見つけると

k(1,1)=α^2/(1+γ)-1

k(1,2)=αβ/(1+γ)-1

k(1,3)=α

k(2,1)=αβ/(1+γ)-1

k(2,2)=β^2/(1+γ)-1

k(2,3)=β

k(3,1)=α

k(3,2)=β

k(3,3)=γ

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　　　　　［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ，０］

　　Ｒ3 ＝［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ，０］

　　　　　［　　　０，　　　０，　１］

として，R＝KＲ3K^-1のようなものを考えている．

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